算经十书《九章算术》难题汇编卷八（方程）

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1、九章算术难题汇编卷八方程〔一〕今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？　　荅曰：　　上禾一秉，九斗、四分斗之一，　　中禾一秉，四斗、四分斗之一，　　下禾一秉，二斗、四分斗之三。　　方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中

2、禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。　　〔二〕今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗。下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗。问上、下禾实一秉各几何？　　荅曰：　　上禾一秉实一斗、五十二分斗之一十八，　　下禾一秉实五十二分斗之四十一。　　术曰：如方程。损之曰益，益之曰损。损实一斗者，其实过一十斗也。益实一斗者，其实不满一十斗也。　　〔三〕今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆

3、不满斗。上取中，中取下，下取上各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何？　　荅曰：　　上禾一秉实二十五分斗之九，　　中禾一秉实二十五分斗之七，　　下禾一秉实二十五分斗之四。　　术曰：如方程，各置所取，以正负术入之。　　正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。　　〔四〕今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉。上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉。问上、下禾实一秉各几何？　　荅曰：　　上禾一秉五升，　　下禾一秉二升。　　术曰：如方程，置上禾五秉正，下禾

4、七秉负，损实一斗一升正。次置上禾七秉正，下禾五秉负，损实二斗五升正。以正负术入之。　　〔五〕今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉。下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉。问上、下禾实一秉各几何？　　荅曰：　　上禾一秉实八升，　　下禾一秉实三升。　　术曰：如方程，置上禾六秉正，下禾一十秉负，损实一斗八升正。次置上禾五秉负，下禾一十五秉正，损实五升正。以正负术人之。六〕今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉。下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉。问上、下禾实一秉各几何？　　荅曰：　　上禾一秉实八斗，　　下禾一秉实三斗。　　

5、术曰：如方程，置上禾三秉正，下禾一十秉负，益实六斗负。次置上禾二秉负，下禾五秉正，益实一斗负。以正负术入之。　　〔七〕今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五直金八两。问牛羊各直金几何？　　荅曰：　　牛一，直金一两、二十一分两之一十三，　　羊一，直金二十一分两之二十。　　术曰：如方程。　　〔八〕今有卖牛二、羊五，以买十三豕，有余钱一千。卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足。卖羊六、豕八，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何？　　荅曰：　　牛价一千二百，　　羊价五百，　　豕价三百。　　术曰：如方程，置牛二、羊五正

6、，豕一十三负，余钱数正；次牛三正，羊九负，豕三正；次牛五负，羊六正，豕八正，不足钱负。以正负术入之。　　〔九〕今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻。一雀一燕交而处，衡适平。并燕、雀重一斤。问燕、雀一枚各重几何？　　荅曰：　　雀重一两、一十九分两之十三，　　燕重一两、一十九分两之五。　　术曰：如方程，交易质之，各重八两。　　〔一0〕今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。问甲、乙持钱各几何？　　荅曰：　　甲持三十七钱半，　　乙持二十五钱。　　术曰：如方程，损益之。〔一一〕今有二马

7、、一牛价过一万，如半马之价。一马、二牛价不满一万，如半牛之价。问牛、马价各几何？　　荅曰：　　马价五千四百五十四钱、一十一分钱之六，　　牛价一千八百一十八钱、一十一分钱之二。　　术曰：如方程，损益之。　　〔一二〕今有武马一匹，中马二匹，下马三匹，皆载四十石至阪，皆不能上。武马借中马一匹，中马借下马一匹，下马借武马一匹，乃皆上。问武、中、下马一匹各力引几何？　　荅曰：　　武马一匹力引二十二石、七分石之六，　　中马一匹力引十七石、七分石之一，　　下马一匹力引五石、七分石之五。　　术曰：如方程各置所借，以正负术入

8、之。　　〔一三〕今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何？　　荅曰：井深七丈二尺一寸。　　甲绠长二丈六尺五寸，　　乙绠长一丈九尺一寸，　　丙绠长一丈四尺八寸，　　丁绠长一丈二尺九寸，　　戊绠长七尺六寸。　　术曰：如方程，以正负术入之。　　〔一四〕今有白禾二步、青禾三步、黄禾四步、黑禾五步，