2018-2019学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.4 绝对值的三角不等式导学案 新人教B版选修4-5

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1、1.4　绝对值的三角不等式1.理解定理1及其几何说明，理解定理2及其2个推论.2.会用定理1、定理2及其2个推论解决比较简单的问题.自学导引1.a，b∈R，

2、a＋b

3、≤

4、a

5、＋

6、b

7、，当且仅当ab≥0时，等号成立.2.

8、a－b

9、表示a－b与原点的距离，也表示a与b之间的距离.3.a，b，c∈R，

10、a－c

11、≤

12、a－b

13、＋

14、b－c

15、，当且仅当(a－b)(b－c)≥0，即b落在a，c之间时等号成立.4.

16、

17、a

18、－

19、b

20、

21、≤

22、a＋b

23、；

24、

25、a

26、－

27、b

28、

29、≤

30、a－b

31、.基础自测1.对任意x，y∈R，

32、x－1

33、＋

34、x

35、＋

36、y－1

37、＋

38、y＋1

39、的最小值为(　　)A.1B.2C.3D.4解析　利

40、用三角不等式直接求解.∵x，y∈R，∴

41、x－1

42、＋

43、x

44、≥

45、(x－1)－x

46、＝1，

47、y－1

48、＋

49、y＋1

50、≥

51、(y－1)－(y＋1)

52、＝2，∴

53、x－1

54、＋

55、x

56、＋

57、y－1

58、＋

59、y＋1

60、≥3.∴

61、x－1

62、＋

63、x

64、＋

65、y－1

66、＋

67、y＋1

68、的最小值为3.答案　C2.设ab>0，下面四个不等式①

69、a＋b

70、>

71、a

72、；②

73、a＋b

74、<

75、b

76、；③

77、a＋b

78、<

79、a－b

80、；④

81、a＋b

82、>

83、a

84、－

85、b

86、中，正确的是(　　)A.①和②B.①和③C.①和④D.②和④解析　∵ab>0，①

87、a＋b

88、＝

89、a

90、＋

91、b

92、>

93、a

94、，正确，②

95、a＋b

96、＝

97、a

98、＋

99、b

100、>

101、b

102、，所以②错，③

103、a＋b

104、＝

105、a

106、＋

107、b

108、>

109、a

110、－b

111、错，④

112、a＋b

113、＝

114、a

115、＋

116、b

117、≥

118、a－b

119、≥

120、a

121、－

122、b

123、对，所以①④正确应选C.答案　C3.若函数f(x)＝

124、x＋1

125、＋2

126、x－a

127、的最小值为5，则实数a＝________.解析　根据去绝对值符号后函数的图象求解.由于f(x)＝

128、x＋1

129、＋2

130、x－a

131、，当a>－1时，f(x)＝作出f(x)的大致图象如图所示，由函数f(x)的图象可知f(a)＝5，即a＋1＝5，∴a＝4.同理，当a≤－1时，－a－1＝5，∴a＝－6.答案　－6或4知识点1　利用绝对值的三角不等式证明变量不等式【例1】已知

132、x

133、<1，

134、y

135、<1，求证：≤1.分析：本题可考虑两边平方去掉绝对值转化为普通不等式

136、(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2.证明　

137、x

138、<1⇔x2<1⇔1－x2>0，

139、y

140、<1⇔1－y2>0，x2＋y2≥2xy⇔－x2－y2≤－2xy⇔1－x2－y2＋x2y2≤1－2xy＋x2y2⇔(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2⇔≤

141、1－xy

142、所以≤1.由于

143、x

144、<1，

145、y

146、<1，则

147、xy

148、<1，即1－xy≠0.●反思感悟：通过添一项、减一项的恒等变形，然后再进行组合，构造成能利用绝对值的三角不等式的形式是证明的关键.1.证明：

149、x－a

150、＋

151、x－b

152、≥

153、a－b

154、.证明　∵

155、x－a

156、＋

157、x－b

158、＝

159、x－a

160、＋

161、b－x

162、≥

163、x－a＋b－x

164、＝

165、b－a

166、＝

167、a－b

168、.∴

169、

170、x－a

171、＋

172、x－b

173、≥

174、a－b

175、.知识点2　利用绝对值的三角不等式证明函数不等式【例2】函数f(x)的定义域为[0，1]，f(0)＝f(1)，且对任意不同的x1，x2∈[0，1]都有

176、f(x2)－f(x1)

177、<

178、x2－x1

179、，求证：

180、f(x2)－f(x1)

181、<.证明　设0≤x1

182、f(x2)－f(x1)

183、<

184、x2－x1

185、≤.即

186、f(x2)－f(x1)

187、<.②若

188、f(x2)－f(x1)

189、＝

190、f(x2)＋f(0)－f(1)－f(x1)

191、＝

192、f(x2)－f(1)＋f(0)－f(x1)

193、≤

194、f(x2)－f(1)

195、＋

196、f(0)－f(x1)

197、

198、<

199、x2－1

200、＋

201、x1－0

202、.而

203、x2－1

204、＋

205、x1

206、＝1－x2＋x1＝1－(x2－x1)<1－＝.综上所述，对任意不同的x1，x2∈[0，1]都有

207、f(x2)－f(x1)

208、<.●反思感悟：对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法.2.设f(x)＝ax2＋bx＋c，当

209、x

210、≤1时，总有

211、f(x)

212、≤1，求证：

213、f(2)

214、≤7.证明　∵

215、f(1)

216、≤1，

217、f(－1)

218、≤1，

219、f(0)

220、≤1，∴

221、f(2)

222、＝

223、4a＋2b＋c

224、＝

225、3f(1)＋f(－1)－3f(0)

226、≤3

227、f(1)

228、＋

229、f(－1)

230、＋3

231、f(0)

232、≤

233、7.知识点3　绝对值的三角不等式的应用【例3】若关于x的不等式

234、x＋2

235、＋

236、x－1

237、

238、x＋2

239、＋

240、x－1

241、≥

242、(x＋2)－(x－1)

243、＝3，∴当a≤3时，原不等式解集为∅.方法二：式子

244、x＋2

245、＋

246、x－1

247、可看作数轴上一点到－2、1对应的两点间距离之和，而数轴上任一点与这两点距离之和不小于3，故使原不等式解集为∅的a的范围是a≤3.●反思感悟：解此类不等式有三种方法：分区间(分类)讨论法、图象法、几何法.3.已知函数f(x)、g(