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时间:2019-11-14
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1、2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式课后训练新人教A版选修1.已知x2+y2+z2=1,则x+2y+2z的最大值为( ).A.1B.2C.3D.42.已知x,y是实数,则x2+y2+(1-x-y)2的最小值是( ).A.B.C.6D.33.设x,y,z∈R,若x2+y2+z2=4,则x-2y+2z的最小值为________.4.设x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为________.5.在△ABC中,设其各边长为
2、a,b,c,外接圆半径为R,求证:(a2+b2+c2).6.已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,试求a的最值.7.设a1>a2>…>an>an+1,求证:.8.已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求的最大值.已知函数f(x)=(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2+(a,b,c∈R)的最小值为m.若a-b+2c=3,求m的最小值.参考答案1.答案:C解析:由柯西不等式得(x+2y+2z)2≤(12+22+22)(x2+y2+z2)=9,所以-3≤x+2y+2z≤3.当
3、且仅当时,右边等号成立.所以x+2y+2z的最大值为3.2.答案:B解析:由柯西不等式,得(12+12+12)[x2+y2+(1-x-y)2]≥[x+y+(1-x-y)]2,即x2+y2+(1-x-y)2≥,当且仅当x=y=1-x-y,即x=y=时,x2+y2+(1-x-y)2取得最小值.3.答案:-6解析:由柯西不等式,得(x2+y2+z2)·[12+(-2)2+22]≥(x-2y+2z)2,∴(x-2y+2z)2≤4×9=36.当且仅当,时,上式取得等号,当时,x-2y+2z取得最小值-6.4.答案:9解析:2x
4、+2y+z+8=02(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9.考虑以下两组向量:u=(2,2,1),v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(u·v)2≤
5、u
6、2·
7、v
8、2;即[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2≤[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2]·(22+22+12),当且仅当x=-1,y=-4,z=2时,等号成立.所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥.5.证明:∵,∴.∴原不等式成立.6.解:由柯西不等式,得(2b2+3c2+6d2)≥(b+c+d)2,即2b2+3c2+6d
9、2≥(b+c+d)2.由条件可得5-a2≥(3-a)2,解得1≤a≤2.当且仅当时,等号成立.即,,时,amax=2;b=1,,时,amin=1.7.证明:∵a1>a2>…>an>an+1,∴a1-a2>0,a2-a3>0,…,an-an+1>0,据柯西不等式有:(a1-a2+a2-a3+…+an-an+1)·≥.∴原不等式成立.8.解:由柯西不等式,得≤(12+12+12)(4a+1+4b+1+4c+1)=3[4(a+b+c)+3]=21.当且仅当a=b=c=时,取等号.故的最大值为.9.解:因为f(x)=(x-a
10、)2+(x-b)2+(x-c)2+=3x2-2(a+b+c)x+a2+b2+c2+=+a2+b2+c2,所以时,f(x)取最小值a2+b2+c2,即m=a2+b2+c2.因为a-b+2c=3,由柯西不等式,得[12+(-1)2+22]·(a2+b2+c2)≥(a-b+2c)2=9,所以m=a2+b2+c2≥,当且仅当,即,,c=1时,等号成立.所以m的最小值为.
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