2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式课后导练新人教A版选修

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1、2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式课后导练新人教A版选修基础达标1设A=a2+b2+c2,B=ab+bc+ca(a,b,c∈R),则A、B的大小关系是()A.A>BB.A0且ab+bc+ca=1,则a+b+c的最小值为()A.1B.2C.3D.解析:(a2+b2+c2)2=(a2+b2+c2)(b2+c2+a2)≥(ab+bc+c

2、a)2=1.∴a2+b2+c2≥1.从而(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)≥1+2=3.∴a+b+c≥.答案:D3若a≠b,则a2+3b2与2b(a+b)的大小关系为()A.a2+3b2>2b(a+b)B.a2+3b2<2b(a+b)C.a2+3b2≥2b(a+b)D.a2+3b2≤2b(a+b)解析:(a2+3b2)2=(a2+b2+2b2)(b2+a2+2b2)>(ab+ba+2b2)2=4b2(a+b)2(∵a≠b,∴“=”不取),∴a2+3b2>2b(a+b).答案:A4若a,b，c＞0，则M=(a+

3、b+c)(a2+b2+c2),N=9abc的大小关系为()A.M>NB.M0，M=ab+bc+ca+c2,N=ab+a+b+1,P=16abc,则MN与P的大小关系是()A.MN>PB.MN≤PC.MN≥PD.MN

4、+b+1)=abc(+++)(1+a+b+ab)≥abc(+1+1+)2=abc(+1+1+)(+1+1+)≥abc(1+1+1+1)2=16abc.答案:C综合运用6已知A、B、C是三角形三内角的弧度数，则与的大小关系为()A.≥B.≤C.>D.<解析:∵A＋B＋C＝π,∴(A+B+C)()≥(1+1+1)2=9.∴≥.等号当且仅当A＝B＝C=时取得.答案:A7a、b、c∈R+，求证：.证明:2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a),∴［(a+b)+(b+c)+(c+a)］［］≥(1+1+1)2=9.∴.等号当且仅当a

5、=b=c时取得.8a∈R，求证:(1+a+a2)2≤3(1+a2+a4).证明:3(1+a2+a4)=(1+1+1)(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2.9设a、b、c∈R+，求证：≥a2+b2+c2.证明:(bc+ac+ab)()≥(a2+b2+c2)2.又bc+ac+ab≤a2+b2+c2,∴(a2+b2+c2)()≥(a2+b2+c2)2,即≥a2+b2+c2.拓展探究10设n是不小于2的正整数，证明.证明:∵()·［(n+1)+(n+2)+…+2n］≥(1+1+…+1)2=n2,≥由柯西不等式,≤备选习题11已知非负数xi

6、(i=1,2,3,…,n)满足x1+x2+…+xn=1,求证：(n∈N*).证明:=∴原不等式成立.12设三角形三边分别为a,b,c,半周长为p.求证：.解析:设,记=s,则x+y+z=s,x2+y2+z2=p.（注:a+b+c=2p）由柯西不等式得s2=(x+y+z)2≤(x2+y2+z2)(12+12+12)=3ps≤,即13(第18届美国数学奥林匹克试题)试确定方程组x+y+z=3…(1)x2+y2+z2=3…(2)x5+y5+z5＝3…（3）的一切实数解.解析:由已知并根据柯西不等式得32=(x+y+z)2≤(x2+y2+z

7、2)(12+12+12)=3×3,上式等号成立的充要条件是,代入(1)，得x=y=z=1.显然这是（1）（2）的唯一解，经验证也是（3）的解，所以原方程组的唯一实数解是(1,1,1).14设xi∈R+（i=1,2,…,n），试证(x1+x2+…+xn)［］≥n2.证明:［()2+()2+…+()2］［()2+()2+…+()2］≥［·+·+…+·］2=(1+1+…+1)2.15设a,b,c∈R+，试证.证明:［()2+()2+()2］［()2+()2+()2］≥(a+b+c)2,即()(b+c+c+a+a+b)≥(a+b+c)2.故

8、.16设a,b,c,d＞1，且loga(bcd)≤9,试证logba+logca+logda≥1.证明:［()2+()2+()2］［()2+()2+()2］≥(logba·logab+logca·logac+logda·logad)2