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《高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式课堂导学案新人教a版选修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2一般形式的柯西不等式课堂导学三点剖析一、利用柯西不等式证明不等式【例1】设α、β∈（0，），试用柯西不等式证明≥9.证明:∵又cos2α＋sin2α·sin2β+sin2α·cos2β=1,∴(cos2α+sin2α·sin2β+sin2α·cos2β)·()≥(1+1+1)2=9.∴≥9.温馨提示由于右式常数为9=(1+1+1)2,因此左式应有三项，于是想到把拆成两项.凑项、凑常数是柯西不等式证题时常用的一种基本技巧.各个击破类题演练1设a、b、c∈R+，证明≥(a+b+c).证明:∵a、b、c＞0，∴2(a+b+c)=［(a
2、+b)+(b+c)+(c+a)］.∴［(b+c)+(c+a)+(a+b)］()≥(a+b+c)2.∴≥(a+b+c).变式提升1设x1，x2,…，xn∈R+,求证：≥x1+x2+…+xn.证明:∵x1,x2,…,xn∈R+,∴(x2+x3+x4+…+xn+x1)()≥(x1+x2+…+xn)2.∴≥x1+x2+…+xn.温馨提示为了证明不等式，把x1+x2+…+xn中的x1的位置移至最后，在应用柯西不等式时解决了大问题，不要小瞧这一小小的技巧哟!二、利用柯西不等式证条件不等式【例2】a、b、c∈R+，且a+b+c=1,求证：(a+)2
3、+(b+)2+(c+)2≥.证明：∵(12+12+12)［(a+)2+(b+)2+(c+)2］≥［(a+)+(b+)+(c+)］2=［1+(++)］2,而(a+b+c)(++)≥(1+1+1)2=9,即++≥9,∴［1+(++)］2≥100.∴(a+)2+(b+)2+(c+)2≥.温馨提示证明条件不等式的关键是如何恰当地利用好条件.本题注意到要证的不等式左边是平方和的形式，而已知条件中a+b＋c=1是一次式，于是想到利用柯西不等式变形，建立起a、b、c之间的关系，以便用上条件.类题演练2已知a1,a2,…,an都是正数，且a1+a2+
4、…+an＝1，求证：(a1+)2+(a2+)2+…+(an+)2≥.证明:原不等式等价于n［(a1+)2+(a2+)2+…+(an+)2］≥(n2+1)2.∵(12+12+…+12)·［(a1+)2+(a2+)2+…+(an+)2］≥［(a1+)+(a2+)+…+(an+)］2=［1+(++…+)］2,①又由调和平均数≤算术平均数知,∴++…+≥n2，代入①式即得.变式提升2a、b、c、d∈R，且求证：1≤a≤2.证明:(b+c+d)2=()2≤［(b)2+(c)2+(d)2］［()2+()2+()2］=(2b2+3c2+6d2)(+
5、)=2b2+3c2+6d2,而b+c+d=3-a,2b2+3c2+6d2=5-a2,∴(3-a)2≤5-a2,解得1≤a≤2.三、利用柯西不等式解决其他问题【例3】（1）第七届美国数学奥林匹克试题设实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8,且a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定e的最大值.解析：由已知得a+b+c+d=8-e，a2+b2+c2+d2=16-e2，所以(8-e)2=(a+b+c+d)2≤(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)=4(16-e2),化简得5e2-16e≤00≤e≤,所以emax=.
6、（2）求实数x,y,z,使它们同时满足2x+3y+z=13…(1),4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82…(2).解析：可令x1=2x,x2=3y+3,x3=z+2,则x1+x2+x3＝18且x12+x22+x32＝108，由此及柯西不等式得182=(x1+x2+x3)2≤(x12+x22+x32)2（12+12+12）=108×3,上式等号成立其充要条件是x1=x2=x3=6x=3,y=1,z=4.所以3,1,4是所求实数x,y,z的值.类题演练3已知x+y+z=1，求2x2+3y2+z2的最小值.解析:（2x2+3y2+
7、z2）(++1)≥(x+y+z)2=1,∴2x2+3y2+z2≥,所求最小值为.变式提升3设x,y,z∈R且+=2…(1),+=1…(2),则的值是()A.1B.C.D.不存在解析:设x1=,y1=,z1=,则x1+y1+z1=2,x12+y12+z12=1,根据柯西不等式得22=(x1+y1+z1)2≤(x12+y12+z12)(12+12+12)=1×3=3,显然这个不等式不能成立，所以由(1)(2)所组成的方程组无解，故所求值不存在.答案:D
