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《高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式自主训练 新人教a版选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2一般形式的柯西不等式自主广场我夯基我达标1.已知a12+a22+…+an2=1,x12+x22+…+xn2=1,则a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是()A.1B.2C.3D.4思路解析：(a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(a12+a22+…+an2)(x12+x22+…+xn2)=1×1=1.∴a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是1.答案：A2.已知x,y,z∈R+且x+y+z=1,则x2+y2+z2的最小值是()A.1B.C.D.2思路解析：根据柯西不等式，x2+y2+z2=
2、(12+12+12)(x2+y2+z2)≥(1×x+1×y+1×z)2=(x+y+z)2=.答案：B3.n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是()A.1B.nC.n2D.思路解析：设n个正数为x1,x2,…,xn，由柯西不等式，得(x1+x2+…+xn)()≥()2=(1+1+…+1)2=n2.答案：C4.已知x+3y+5z=6,则x2+y2+z2的最小值为()A.B.C.D.6思路解析：由柯西不等式，得x2+y2+z2=(12+32+52)(x2+y2+z2)×≥(1×x+3×y+5×z)2
3、×.答案：C5.已知2x+3y+4z=10,则x2+y2+z2取到最小值时的x,y,z的值为()A.B.C.1，，D.1，思路解析：当且仅当=时，取到最小值，所以联立可得.答案：B6.已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1,求的最大值.解：由柯西不等式，得()2=(1×+1×+1×)2≤(12+12+12）（4a+1+4b+1+4c+1)=3［4(a+b+c)+3］=21.当且仅当a=b=c=时，取“=”.故的最大值为.我综合我发展7.三角形三边a,b,c对应的高为ha,hb,hc，r为三角形内切圆半径
4、.若ha+hb+hc的值为9r.试判断此三角形的形状.思路解析：记三角形的面积为S，则2S=aha=bhb=chc，又因为2S=r(a+b+c),所以ha+hb+hc=2S(++)=r(a+b+c)(++).由柯西不等式，得(a+b+c)(++)=［()2+()2+()2］［()2+()2+()2］≥［×+×+×］2=9.当且仅当a=b=c时取等号.所以ha+hb+hc=9r,当且仅当a=b=c时取等号.故ha+hb+hc=9r时，三角形为等边三角形.8.△ABC的三边长为a,b,c，其外接圆半径为R.
5、求证：(a2+b2+c2)()≥36R2.证明：由三角形的正弦定理，得sinA=,所以.同理，.于是左边=(a2+b2+c2)()≥(a×+b×+c×)2=36R2.9.求实数x,y的值，使(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值.解：由柯西不等式，得(12+22+12)×［(y-1)2+(3-x-y)2+(2x+y-6)2］≥［1×（y-1)+2×(3-x-y)+1×(2x+y-6)］2=1.即(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2≥.当且仅当,即x=,y=时上式取等号
6、.故所求值为x=,y=.10.设x1,x2,…,xn都是正数，且=1.求证：.证明：不等式的左端，即，①,取yi=则.②由柯西不等式，有③及.④综合①②③④,得≥≥.
