2018-2019高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式学案 新人教A版选修4-5

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1、3.2一般形式的柯西不等式预习案一、预习目标及范围1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．二、预习要点教材整理1　三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)·(b＋b＋b)≥.当且仅当或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．教材整理2　一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥.当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝(i＝1,2，…，n)时，等号

2、成立．三、预习检测1.已知x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是(　　)A．1　　　　B.　　　　C.　　　　D．22.已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是(　　)A．1B．2C．3D.43．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值为________.探究案一、合作探究题型一、利用柯西不等式求最值例1　已知a，b，c∈(0，＋∞)，＋＋＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值．【精彩点拨】　由于＋＋＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．[再练一题]1．已知x＋4y＋9z＝1

3、，求x2＋y2＋z2的最小值．题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围例2已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范围．【精彩点拨】　“恒成立”问题需求＋＋的最大值，设法应用柯西不等式求最值．[再练一题]2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的取值范围.题型三、利用柯西不等式证明不等式例3　已知a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥9.【精彩点拨】　对应三维形式的柯西不等式，a1＝，a2＝，a3＝，b1＝，b2＝，b3＝，而a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证．[再练一题]3．已知函数f(x)＝m－

4、x－2

5、，

6、m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.二、随堂检测1．设a＝(－2,1,2)，

7、b

8、＝6，则a·b的最小值为(　　)A．18B．6C．－18D.122．若a＋a＋…＋a＝1，b＋b＋…＋b＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的取值范围是(　　)A．(－∞，2)B．[－2,2]C．(－∞，2]D.[－1,1]3．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________．参考答案预习检测：1.【解析】　根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)·(x2＋y2＋z2)

9、≥(1×x＋1×y＋1×z)2＝(x＋y＋z)2＝.【答案】　B2.【解析】　(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，当且仅当＝＝…＝＝1时取等号，∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.【答案】　A3.【解析】　由a，b，c为正数，∴(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]≥2＝121，当且仅当＝＝＝k(k>0)时等号成立．故(a＋b＋c)的最小值是121.【答案】　121随堂检测：1.【解析】　

10、a·b

11、≤

12、a

13、

14、b

15、，∴

16、a·b

17、≤18.∴－18≤a·b≤18，当a，b反向时，a·b最小，最小值为－18.【答案】　C2.【解析】

18、　∵(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4，∴

19、a1b1＋a2b2＋…＋anbn

20、≤2，即－2≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2，当且仅当ai＝bi(i＝1,2，…，n)时，右边等号成立；当且仅当ai＝－bi(i＝1,2，…，n)时，左边等号成立，故选B.【答案】　B3.【解析】　根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为.【答案】