2018-2019高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式教案 新人教A版选修4-5

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1、3.2一般形式的柯西不等式一、教学目标1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式.2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.二、课时安排1课时三、教学重点1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式.2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.四、教学难点1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式.2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.五、教学过程(一)导入新课已知实数x,y,z满足x+2y+z=1,求t=x2+4y2+z2的最小值.【解】 由柯西不等式得(x2+4y2+z2)(1+1+1)≥(x+2y+z)2.∵x+2y+z=

2、1,∴3(x2+4y2+z2)≥1,即x2+4y2+z2≥.当且仅当x=2y=z=,即x=,y=,z=时等号成立.故x2+4y2+z2的最小值为.(二)讲授新课教材整理1 三维形式的柯西不等式设a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,则(a+a+a)·(b+b+b)≥.当且仅当或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时,等号成立.我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式.教材整理2 一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥.当且仅当

3、bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=(i=1,2,…,n)时,等号成立.(三)重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值例1 已知a,b,c∈(0,+∞),++=2,求a+2b+3c的最小值及取得最小值时a,b,c的值.【精彩点拨】 由于++=2,可考虑把已知条件与待求式子结合起来,利用柯西不等式求解.【自主解答】 ∵a,b,c∈(0,+∞),∴·(a+2b+3c)=[++][()2+()2+()2]≥=(1+2+3)2=36.又++=2,∴a+2b+3c≥18,当且仅当a=b=c=3时等号成立,综上,当a

4、=b=c=3时,a+2b+3c取得最小值18.规律总结:利用柯西不等式求最值时,关键是对原目标函数进行配凑,以保证出现常数结果.同时,要注意等号成立的条件.[再练一题]1.已知x+4y+9z=1,求x2+y2+z2的最小值.【解】 由柯西不等式,知(x+4y+9z)2≤(12+42+92)(x2+y2+z2)=98(x2+y2+z2).又x+4y+9z=1,∴x2+y2+z2≥,(*)当且仅当x==时,等号成立,∴x=,y=,z=时,(*)取等号.因此,x2+y2+z2的最小值为.题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围例2

5、已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式++≤λ恒成立,求λ的取值范围.【精彩点拨】 “恒成立”问题需求++的最大值,设法应用柯西不等式求最值.【自主解答】 ∵x>0,y>0,z>0.且x+y+z=xyz.∴++=1.又++≤=≤当且仅当x=y=z,即x=y=z=时等号成立.∴++的最大值为.故++≤λ恒成立时,应有λ≥.因此λ的取值范围是.规律总结:应用柯西不等式,首先要对不等式形式、条件熟练掌握,然后根据题目的特点“创造性”应用定理.[再练一题]2.已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+

6、3c2+6d2=5,试求a的取值范围.【解】 由a+b+c+d=3,得b+c+d=3-a,由a2+2b2+3c2+6d2=5,得2b2+3c2+6d2=5-a2,(2b2+3c2+6d2)≥(b+c+d)2,即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2.由条件可得,5-a2≥(3-a)2,解得1≤a≤2,所以实数a的取值范围是[1,2].题型三、利用柯西不等式证明不等式例3 已知a,b,c∈R+,求证:++≥9.【精彩点拨】 对应三维形式的柯西不等式,a1=,a2=,a3=,b1=,b2=,b3=,而a1b1=a2b2=a3

7、b3=1,因而得证.【自主解答】 ∵a,b,c∈R+,由柯西不等式,知=[++]×[++]≥=(1+1+1)2=9,∴≥9.规律总结:1.当ai,bi是正数时,柯西不等式变形为(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)≥(++…+)2.2.本题证明的关键在于构造两组数,创造使用柯西不等式的条件.在运用柯西不等式时,要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征,正确配凑出公式两侧的数组.[再练一题]3.已知函数f(x)=m-

8、x-2

9、,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m的值;(2)若a,b,c∈R+,

10、且++=m,求证:a+2b+3c≥9.【解】 (1)因为f(x+2)=m-

11、x

12、,f(x+2)≥0等价于

13、x

14、≤m.由

15、x

16、≤m有解,得m≥0,且其解集为{x

17、-m≤x≤m}.又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.(2)证明:由(1)知++=1.又a,b,c∈R+,由柯西不等式得a+2b+3

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