高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形式的柯西不等式自主训练 新人教a版选修4-5

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1、3.1二维形式的柯西不等式自主广场我夯基我达标1.函数y=的最大值是()A.B.C.3D.5思路解析：根据柯西不等式，知y=1×+2×.答案：B2.已知a,b∈R+，且a+b=1，则（）2的最大值是()A.B.C.6D.12思路解析：()2=(1×+1×)2≤(12+12)(4a+1+4b+1)=2［4(a+b)+2］=2(4×1+2)=12.答案：D3.已知x,y∈R+，且xy=1，则(1+)(1+)的最大值为()A.4B.2C.1D.思路解析：（1+）(1+)=［12+()2］［12+()2］≥(1×1+×)2=(1+)2=22=4.答案：A4.已

2、知2x2+y2=1，则2x+y的最大值是()A.B.2C.D.3思路解析：2x+y=×x+1×y≤.答案：C5.设a,b,c,d,m,n都是正实数，P=,Q=，则P与Q的大小______________.思路解析：由柯西不等式，得P=.答案：P≤Q6.已知a,b,x,y∈R+，且ab=4,x+y=1.求证：(ax+by)(bx+ay)≥4.证明：左边=［()2+()2］［()2+()2］≥(×+×)2=(×x+×y)2=ab(x+y)2=ab=4.我综合我发展7.设a,b,c>0，且acos2θ+bsin2θ

3、由柯西不等式及题设，得［(cos2θ+sin2θ］2=［cosθcosθ+sinθsinθ］2≤［(cosθ)2+(sinθ)2］［cos2θ+sin2θ］=acos2θ+bsin2θ

4、1(a>1)交x轴、y轴的正半轴于M、N两点，试问：

5、MN

6、会小于2a吗？说明理由.解：当x=0时，y=

7、a-1

8、=a-1,当y=0时，x=

9、a+1

10、=a+1,∴椭圆交x、y轴正半轴的交点分别为M（a+1,0),N(0,a-1)两点.∴

11、MN

12、=(a+1)2+(a-1)2=×2a=a.∴

13、MN

14、可以小于2a.10.已知

15、x

16、≤1,

17、y

18、≤1，试求的最大值.思路解析：×y≤=

19、1

20、=1.∴的最大值为1.