2018-2019高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形式的柯西不等式导学案 新人教A版选修4-5

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1、2.3　二维形式的柯西不等式学习目标1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究探究1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成＝吗？探究2．用柯西不等式求最值时的关键是什么？名师点拨：1.二维形式的柯西不等式(1)定理1：不等式中等号成立的条件是ad＝bc.这时我们称(a，b)，(c，d)成比例．如果c≠0，d≠0，那么ad＝bc⇔＝，若cd＝0，我们分情况说明：①c＝d＝0，原不等式两

2、边都为0，显然成立；②当c＝0，d≠0时，原不等式化为(a2＋b2)d2≥b2d2，是显然成立的；③当c≠0，d＝0时，道理和②一样，也是成立的．所以当cd＝0时，不等式也成立．(2)由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式：对于任何实数a，b，c，d，以下不等式成立：·≥

3、ac＋bd

4、；·≥

5、ac

6、＋

7、bd

8、.2．对二维柯西不等式的认识二维柯西不等式与中学数学中的代数、几何、三角等各方面都有联系，熟悉这些联系能更本质的把握不等式，并更自觉地应用它．(1)由代数恒等式(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2＋(ad－bc

9、)2，把非负数(ad－bc)2舍去，易得不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.(2)如图，平面内点B(c，d)到直线ax＋by＝0的距离BH不大于线段OB的长，因此有≤.即(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.(3)如图所示，构造△AOB，点A(a，b)，B(c，d)，在△AOB中应用余弦定理可得，cos∠AOB＝＝＝.∵

10、cos∠AOB

11、≤1，∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．3．巧用柯西不等式求最值应用柯西不等式可以简便解答某些含有约束条件的多元变量的最值问题．解答此类题的关键是构造两组数

12、或两个向量，使之符合柯西不等式的形式．【例1】　求证：＋≥.【变式训练1】　已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2.【例2】　设x>0，y>0，且x＋y＝2，求＋的最小值．【变式训练2】　求函数y＝3＋的最大值．【例3】　已知x>0，y>0，且a＋b＝1，求证：(ax＋by)2≤ax2＋by2.【变式训练3】　设a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：＋≤.　　参考答案探究1．提示　不可以．当b·d＝0时，柯西不等式成立，但＝不成立．探究2提示　利用柯西不等式求最值问题，通常设法在不等式一边得到

13、一个常数，并寻求不等式等号成立的条件.【例1】【证明】　∵(＋)2＝(x＋x)＋(y＋y)＋2，由柯西不等式，得(x＋x)(y＋y)≥(x1y2＋x2y1)2，其中当且仅当x1y2＝x2y1时，等号成立．∴≥x1y1＋x2y2.∴(＋)2≥(x＋x)＋(y＋y)＋2(x1y1＋x2y2)＝(x1＋y1)2＋(x2＋y2)2.∴＋≥.其中等号当且仅当x1y2＝x2y1时成立．【变式训练1】证明　(a1b1＋a2b2)＝≥2＝(a1＋a2)2.【例2】【解】　∵x＋y＝2，根据柯西不等式，有[(2－x)＋(2－y)]＝[()2＋()2]≥

14、2＝(x＋y)2＝4，∴＋≥＝＝＝2.当且仅当·＝·，即x＝y＝1时，等号成立．∴当x＝y＝1时，＋有最小值2.【变式训练2】解　由题可知函数的定义域满足即x∈[1,5]，令α＝(3，)，β＝(，)．而y＝3＋＝3·＋·＝

15、α·β

16、≤

17、α

18、·

19、β

20、＝＝·＝2.当且仅当3·＝·，即x＝时，取等号．所以y的最大值为2.【例3】证明　设m＝(x，y)，n＝(，)，则

21、ax＋by

22、＝

23、m·n

24、≤

25、m

26、·

27、n

28、＝＝·＝，∴(ax＋by)2≤ax2＋by2.【变式训练3】证明　令α＝，β＝(，1)，则

29、α·β

30、＝＋.而

31、α

32、＝＝，又

33、β

34、＝，∴

35、

36、α

37、

38、β

39、＝.由

40、α·β

41、≤

42、α

43、

44、β

45、，得＋≤.