2018-2019高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形式的柯西不等式学案 新人教A版选修4-5

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1、3.1二维形式的柯西不等式预习案一、预习目标及范围1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．二、预习要点教材整理　二维形式的柯西不等式内容等号成立的条件代数形式若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥当且仅当时，等号成立向量形式设α，β是两个向量，则

2、α·β

3、≤

4、α

5、

6、β

7、当且仅当，或，等号成立三角形式设x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥当且仅当时，等号成立三、预习检测1.已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是(　　)A.B.C.D.2．已知x，y＞0

8、，的最小值为4，则xy＝________.3．已知x，y，a，b∈R＋，且＋＝1，求x＋y的最小值．探究案一、合作探究题型一、二维柯西不等式的向量形式及应例1已知p，q均为正数，且p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2.【精彩点拨】　为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．[再练一题]1．若本例的条件中，把“p3＋q3＝2”改为“p2＋q2＝2”，试判断结论是否仍然成立？题型二、运用柯西不等式求最值例2　若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．【精彩点拨】　由2x＋3y＝1以及4x2＋9y2的形式，联系柯西不等式，可以通过

9、构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．[再练一题]2．若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点.题型三、二维柯西不等式代数形式的应用例3已知

10、3x＋4y

11、＝5，求证：x2＋y2≥1.【精彩点拨】　探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明．[再练一题]3．设a，b∈R＋且a＋b＝2.求证：＋≥2.二、随堂检测1．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为(　　)A.B．169C．13D.02．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则(＋)2的最大值是(　　)A．2B.C．6D.123．平面

12、向量a，b中，若a＝(4，－3)，

13、b

14、＝1，且a·b＝5，则向量b＝________.参考答案预习检测：1.【解析】　2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)·≥＝(x＋y)2＝.【答案】　B2.【解析】　∵≥＝，∴＝4.又＞0，∴＝1，∴xy＝1.【答案】　13.【解】　构造两组实数，；，.∵x，y，a，b∈R＋，＋＝1，∴x＋y＝[()2＋()2][＋]≥(＋)2，当且仅当∶＝∶，即＝时取等号，∴(x＋y)min＝(＋)2.随堂检测：1.【解析】　(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，∴x2＋y2≥13.【答案】　C2.

15、【解析】　(＋)2＝(1×＋1×)2≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立．故选D.【答案】　D3.【解析】　

16、a

17、＝＝5，且

18、b

19、＝1，∴a·b＝

20、a

21、·

22、b

23、，因此，b与a共线，且方向相同，∴b＝.【答案】