2018-2019版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式学案新人教A版选修

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1、一　二维形式的柯西不等式学习目标　1.认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义.2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值．知识点　二维形式的柯西不等式思考1　(a2＋b2)(c2＋d2)与4abcd的大小关系如何？那么(a2＋b2)(c2＋d2)与(ac＋bd)2的大小关系又如何？答案　(a2＋b2)(c2＋d2)≥4abcd，(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.思考2　当且仅当a＝b且c＝d时，(a2＋b2)(c2＋d2)＝4abcd，那么在什么条件下(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2?答案　

2、当且仅当ad＝bc时，(a2＋b2)·(c2＋d2)＝(ac＋bd)2.思考3　若向量α＝(a，b)，向量β＝(c，d)，你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式？答案　·≥

3、ac＋bd

4、.梳理　(1)二维形式的柯西不等式①定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．②二维形式的柯西不等式的推论：·≥

5、ac＋bd

6、(a，b，c，d∈R)；·≥

7、ac

8、＋

9、bd

10、(a，b，c，d∈R)．(2)柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则

11、α·β

12、≤

13、α

14、·

15、β

16、，当且仅当β是零向量，或存在实

17、数k，使α＝kβ时，等号成立．(3)二维形式的三角不等式①定理3：＋≥(x1，y1，x2，y2∈R)．当且仅当三点P1，P2与原点O在同一直线上，并且P1，P2点在原点O两旁时，等号成立．②推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有＋≥.事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有

18、P1P3

19、＋

20、P2P3

21、≥

22、P1P2

23、，当且仅当三点P1，P2，P3在同一直线上，并且点P1，P2在P3点的两旁时，等号成立．类型一　利用柯西不等式证明不等式例1　已知a1，a2，b1，b2∈

24、R＋，求证：(a1b1＋a2b2)·≥(a1＋a2)2.证明　∵a1，a2，b1，b2∈R＋，∴(a1b1＋a2b2)＝·≥2＝(a1＋a2)2.∴(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2.反思与感悟　利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，有时需要将待证不等式进行变形，以具备柯西不等式的运用条件，这种变形往往要认真分析题目的特征，根据题设条件，利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法．跟踪训练1　已知θ为锐角，a，b∈R＋，求证：＋≥(a＋b)2.证明　∵＋＝(cos2θ＋sin2θ)≥2＝(a＋b)2，∴＋≥(a＋b)2.例2　若实数x，y，z满足x2＋4y2＋z2

25、＝3，求证：

26、x＋2y＋z

27、≤3.证明　因为x2＋4y2＋z2＝3，所以由柯西不等式得[x2＋(2y)2＋z2](12＋12＋12)≥(x＋2y＋z)2.整理得(x＋2y＋z)2≤9，即

28、x＋2y＋z

29、≤3.反思与感悟　(1)抓住柯西不等式的特征“方、和、积”，构造使用柯西不等式的条件．(2)此类题也可以用三角不等式，把△ABO的三个顶点分别设为O(0,0)，A(x1，x2)，B(－y1，－y2)即可．跟踪训练2　设a，b，c为正数，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．证明　由柯西不等式知，·≥a＋b，即·≥a＋b，同理，·≥b＋c，·≥a＋c.将上面三个同向不等式相加，得(＋＋)≥2(

30、a＋b＋c)，∴＋＋≥(a＋b＋c)．类型二　利用柯西不等式求最值例3　若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点．解　由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥，当且仅当＝时等号成立，点(x，y)为所求最小值点，解方程组得因此，当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为，最小值点为.反思与感悟　利用柯西不等式求最值(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的前提条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯

31、西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．跟踪训练3　已知a，b∈R，且9a2＋4b2＝18，求3a＋2b的最值．解　由柯西不等式，得(9a2＋4b2)(12＋12)≥(3a＋2b)2，∵9a2＋4b2＝18，∴36≥(3a＋2b)2.∴

32、3a＋2b

33、≤6.当即或时等号成立．∴当a＝1，b＝时，3a＋2b有最大值