高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形式的柯西不等式课后训练 新人教a版选修4-5

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1、3.1二维形式的柯西不等式课后训练1．如果实数m，n，x，y满足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b，其中a，b为常数，那么mx＋ny的最大值为(　　)．A．B．C．D．2．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则的最小值为(　　)．A．4B．2C．1D．3．设a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值为__________．4．设a＝(－2,1,2)，

2、b

3、＝6，则a·b的最小值为__________，此时b＝__________.5．设a＋b＝1，则a2＋b2≥__________.6

4、．已知a＞b＞c，求证：.7．设a，b，c＞0，且acos2θ＋bsin2θ＜c.求证：.8．已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2.已知θ为锐角，a，b∈R＋，求证：.参考答案1.答案：B解析：由柯西不等式，得(mx＋ny)2≤(m2＋n2)(x2＋y2)＝ab；当，时，.2.答案：A解析：，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．3.答案：解析：∵a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，∴a·b＝x－2z.由柯西不等式，得[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥(x＋

5、0－2z)2.当且仅当存在实数，使b＝ka时等号成立．∴5×16≥(x－2z)2，∴

6、x－2z

7、≤.∴≤x－2z≤，即≤a·b≤.∴a·b的最大值为.4.答案：－18　(4，－2，－4)解析：根据柯西不等式的向量形式，有

8、a·b

9、≤

10、a

11、

12、b

13、，∴

14、a·b

15、≤18，当且仅当存在实数k，使a＝kb时，等号成立．∴－18≤a·b≤18.∴a·b的最小值为－18，此时b＝－2a＝(4，－2，－4)．5.答案：解析：(12＋12)(a2＋b2)≥(a×1＋b×1)2＝1，∴a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立．6.证明

16、：＝[(a－b)＋(b－c)]，当且仅当，即a－b＝b－c时，等号成立．∴原不等式成立．7.证明：由柯西不等式及题设，得＝acos2θ＋bsin2θ＜c.当且仅当，即a＝b时，等号成立．∴.8.证明：(a1b1＋a2b2)＝(a1＋a2)2，当且仅当，即b1＝b2时，等号成立．∴原不等式成立．9.证明：设，n＝(cosθ，sinθ)．则＝

17、m·n

18、≤

19、m

20、

21、n

22、，∴.