2019-2020年高考数学大一轮复习 第2节 不等式的证明课时检测（选修4-5）

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1、2019-2020年高考数学大一轮复习第2节不等式的证明课时检测（选修4-5）1．(xx·太原调研)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，求(am＋bn)·(bm＋an)的最小值．【解】　∵a，b，m，n为正数，且a＋b＝1，mn＝2，∴(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2ab·mn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋b2＋2ab)＝2(a＋b)2＝2，当且仅当m＝n＝时，取“＝”．故(am＋bn)·(bm＋an)

2、的最小值为2.2．设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.【证明】　∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴2≤a＋b＝1.因此≤，≥4.则＋＋＝(a＋b)＋≥2·2＋4＝8.故＋＋≥8成立．3．(xx·陕西高考改编)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，求的最小值．【解】　由柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，∴m2＋n2≥5.当且仅当＝时，等号成立，故的最小值为.4．设不等式

3、2x－1

4、<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与

5、a＋b的大小．【解】　(1)由

6、2x－1

7、<1得－1<2x－1<1，解得0

8、00.故ab＋1>a＋b.5．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．【证明】　因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①＋＋≥3(abc)－，所以2≥9(abc)－.②故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)－.又3

9、(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立；当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．因此当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．6．(xx·课标全国卷Ⅰ)若a>0，b>0，且＋＝.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．【解】　(1)由＝＋≥，得ab≥2.当且仅当a＝b＝时等号成立．故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.由于4>6，从而不存

10、在a，b，使得2a＋3b＝6.7．已知m＞0，a，b∈R，求证：2≤.【证明】　∵m＞0，∴1＋m＞0.欲证2≤成立．只需证明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，只要证明a2－2ab＋b2≥0，又a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0显然成立，故2≤.8．已知a，b，c>0且互不相等，abc＝1.试证明：＋＋<＋＋.【证明】　法一　∵＋≥2＝2；＋≥2＝2；＋≥2＝2.∴以上三式相加，得＋＋≥＋＋.又∵a，b，c互不相等，∴＋＋>＋＋.法二　∵a，b，c是互不相等的正数，且abc＝

11、1，∴＋＋＝bc＋ca＋ab＝＋＋>＋＋＝＋＋.∴＋＋<＋＋.9．(xx·南京调研)已知函数f(x)＝m－

12、x－2

13、，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c大于0，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.【解】　(1)∵f(x＋2)＝m－

14、x

15、，∴f(x＋2)≥0等价于

16、x

17、≤m.由

18、x

19、≤m有解，得m≥0且其解集为{x

20、－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.(2)证明：由(1)知＋＋＝1，且a，b，c大于0，a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)＝3＋＋

21、＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝2b＝3c＝时，等号成立．因此a＋2b＋3c≥9.10．已知a，b为正实数．(1)求证：＋≥a＋b；(2)利用(1)的结论求函数y＝＋(0＜x＜1)的最小值．【解】　(1)证明：∵＋－(a＋b)＝＝＝.又∵a＞0，b＞0，∴≥0，当且仅当a＝b时等号成立．∴＋≥a＋b.(2)∵0＜x＜1，∴1－x＞0，由(1)的结论，函数y＝＋≥(1－x)＋x＝1.当且仅当1－x＝x即x＝时等号成立．∴函数y＝＋(0＜x＜1)的最小值为1.