2018届高考数学（文）大一轮复习检测：选修4－5 不等式选讲 课时作业69 含答案

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1、课时作业69　不等式的证明1、(1)已知a,b都是正数,且a≠b,求证：a3＋b3>a2b＋ab2；(2)已知a,b,c都是正数,求证：≥abc.证明：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.因为a,b都是正数,所以a＋b>0.又因为a≠b,所以(a－b)2>0.于是(a＋b)(a－b)2>0,即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0,所以a3＋b3>a2b＋ab2.(2)因为b2＋c2≥2bc,a2>0,所以a2(b2＋c2)≥2a2bc.　①同理b2(a2＋c2)≥2ab2c,　②c2(a2＋b2)≥2abc2.①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋

2、c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2,从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)、由a,b,c都是正数,得a＋b＋c>0,因此≥abc.2、已知函数f(x)＝2x,x1,x2是任意实数且x1≠x2,证明：[f(x1)＋f(x2)]>f.证明：[f(x1)＋f(x2)]－f＝＝[2＋2－2×2]＝[2－2·2－2·2＋2]＝[2(2－2)－2(2－2)]＝(2－2)(2－2)＝(2－2)2.因为x1≠x2,2≠2,所以(2－2)2>0,即[f(x1)＋f(x2)]－f>0,所以[f(x1)＋f(x2)]>f.3、设a>0,b>0,且a＋b＝＋.证明：(1)a

3、＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立、证明：由a＋b＝＋＝,a>0,b>0,得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1,有a＋b≥2＝2,即a＋b≥2.当且仅当a＝b＝1时等号成立、(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立,则由a2＋a<2及a>0得00,b>0,c>0.若函数f(x)＝

4、x＋a

5、＋

6、x－b

7、＋c的最小值为2.(1)求a＋b＋c的值；(2)求＋＋的最小值、解：(1)因为f(x)＝

8、x＋a

9、＋

10、x－b

11、

12、＋c≥

13、(x＋a)－(x－b)

14、＋c＝

15、a＋b

16、＋c,当且仅当－a≤x≤b时,等号成立,又a>0,b>0,所以

17、a＋b

18、＝a＋b,所以f(x)的最小值为a＋b＋c,所以a＋b＋c＝2.(2)由(1)知a＋b＋c＝2,所以＋＋＝(＋＋)×＝×[3＋(＋)＋(＋)＋(＋)]≥×(3＋2＋2＋2)＝,当且仅当＝,＝,＝,即a＝b＝c＝时,等号成立、所以＋＋的最小值为.2、(2017·昆明检测)已知函数f(x)＝.(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的值域是[m,n],且a2＋b2＝m,c2＋d2＝n,求ac＋bd的取值范围、解：(1)设g(x)＝

19、x＋3

20、－

21、x－1

22、＋5

23、,则g(x)＝,所以g(x)∈[1,9]、所以函数f(x)的值域是[1,3]、(2)由(1)知a2＋b2＝1,c2＋d2＝3,由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2,当且仅当ad＝bc时,取等号,即(ac＋bd)2≤3,解得－≤ac＋bd≤,所以ac＋bd∈[－,]、3、(2017·衡阳二联)已知函数f(x)＝

24、x－3

25、.(1)若不等式f(x－1)＋f(x)

26、a

27、<1,

28、b

29、<3,且a≠0,判断与f()的大小,并说明理由、解：(1)因为f(x－1)＋f(x)＝

30、x－4

31、＋

32、x－3

33、≥

34、x－4＋3－x

35、＝1,不等式

36、f(x－1)＋f(x)f()、证明：要证>f(),只需证

37、ab－3

38、>

39、b－3a

40、,即证(ab－3)2>(b－3a)2,又(ab－3)2－(b－3a)2＝a2b2－9a2－b2＋9＝(a2－1)(b2－9)、因为

41、a

42、<1,

43、b

44、<3,所以(ab－3)2>(b－3a)2成立,所以原不等式成立、