2019-2020年高考数学大一轮复习 第2节 证明不等式的基本方法课时提升练 文 新人教版选修4-5

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1、2019-2020年高考数学大一轮复习第2节证明不等式的基本方法课时提升练文新人教版选修4-5一、选择题1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s与t的大小关系是(　　)A．s≥t　　　B．s>tC．s≤tD．s

2、答案】　A3．(xx·北京东城模拟)设a，b，c为正数，且a＋2b＋3c＝13，则＋＋的最大值为(　　)A.B.C.D.【解析】　由柯西不等式得(a＋2b＋3c)≥(＋＋)2∴(＋＋)2≤.∴＋＋≤.当且仅当＝＝时等号成立，即a＝9，b＝，c＝时＋＋取得最大值.【答案】　C4．已知a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为(　　)A．5B.7C．9　　　　D．11【解析】　把a＋b＋c＝1代入＋＋得＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.【答案】　C5．设0

3、2＝>，∴只需比较1＋x与的大小，∵1＋x－＝＝－<0，∴1＋x<.因此c＝最大．【答案】　C6．(xx·湖北高考)设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝(　　)A.　　　　B.C.　　　　D.【解析】　由题意可得x2＋y2＋z2＝2ax＋2by＋2cz，①①与a2＋b2＋c2＝10相加可得(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝10，所以不妨令.则x＋y＋z＝2(a＋b＋c)，即＝.【答案】　C二、填空题7．(xx·南昌模拟)若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝4，则

4、3a＋4b＋5c的最大值为________．【解析】　由柯西不等式得(3a＋4b＋5c)2≤(a2＋b2＋c2)·(9＋16＋25)＝200，所以－10≤3a＋4b＋5c≤10，所以3a＋4b＋5c的最大值为10.【答案】　108．以下三个命题：①若

5、a－b

6、＜1，则

7、a

8、＜

9、b

10、＋1；②若a，b∈R，则

11、a＋b

12、－2

13、a

14、≤

15、a－b

16、；③若

17、x

18、＜2，

19、y

20、＞3，则＜，其中正确命题的序号是________．【解析】　①

21、a

22、－

23、b

24、≤

25、a－b

26、＜1，所以

27、a

28、＜

29、b

30、＋1；②

31、a＋b

32、－

33、a－b

34、≤

35、(a＋b)＋(a－b)

36、＝

37、2a

38、，所以

39、a＋b

40、－2

41、a

42、≤

43、

44、a－b

45、；③

46、x

47、＜2，

48、y

49、＞3，所以＜，因此＜.∴①②③均正确．【答案】　①②③9．若x＞0，则函数f(x)＝3x＋的最小值为________．【解析】　∵x＞0，∴f(x)＝3x＋＝x＋x＋≥3＝3，等号成立的条件为x＝∴x＝，∴x＝时，f(x)的最小值为3.【答案】　3三、解答题10．(xx·贵州六校联盟)设a、b、c均为正实数，求证：＋＋≥＋＋≥＋＋.【证明】　∵a，b，c均为正实数，∴＋≥≥当a＝b时等号成立＋≥≥当b＝c时等号成立＋≥≥当a＝c时等号成立三个不等式相加即得＋＋≥＋＋≥＋＋当且仅当a＝b＝c时等号成立即＋＋≥＋＋≥＋＋.11．(xx·

50、辽宁高考)设函数f(x)＝2

51、x－1

52、＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.(1)求M；(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.【解】　(1)f(x)＝当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤；当x＜1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x＜1.所以f(x)≤1的解集为M＝{x

53、0≤x≤}．(2)证明：由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得162≤4，解得－≤x≤.因此N＝，故M∩N＝.当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋

54、f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝－2≤.12．(xx·东北三省联考)已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1.(1)求证：

55、a＋b＋c

56、≤；(2)若不等式

57、x－1

58、＋

59、x＋1

60、≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．【解】　(1)由柯西不等式得，(a＋b＋c)2≤(12＋12＋12)·(a2＋b2＋c2)＝3，∴－≤a＋b＋c≤，所以a＋b＋c的取值范围是，即

61、a＋b＋c

62、≤.(2)同理，(a－b＋c)2≤(a2＋b2＋c2)＝3，若不等式

63、x－1

64、＋

65、x＋1

66、≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，则

67、x－1

68、＋

69、x＋1

70、

71、≥3，解集