2014届高考数学(文)一轮复习课件：选修4-5第2讲证明不等式的基本方法.ppt

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1、第2讲证明不等式的基本方法不同寻常的一本书，不可不读哟！1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式以及求一些特定函数的极值.1种必会方法综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程．2点必会技巧1.利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．2.常用的初等变形有均匀裂项、增减项、配系

2、数等．利用基本不等式还可以证明条件不等式，关键是恰当地利用条件，构造基本不等式所需要的形式．3点必须注意1.作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式，作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构．2.放缩法的依据是不等式的传递性，运用放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，“放”和“缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出．放得过大或过小都不能达到证明目的．3.利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此，要切记检验等号成立的条件.课前自主导学(1)若x＋2y＋4z＝1，则x2

3、＋y2＋z2的最小值是________．(2)x，y∈R，且x2＋y2＝10，则2x－y的取值范围为________．(2)分析法从所要________入手向使它成立的充分条件反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出所要证明的结论，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式________的假设；第二步：从________出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，

4、否定假设，从而证明原不等式成立．(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立．在证明不等式时综合法与分析法有怎样的关系？核心要点研究[审题视点]本题主要考查不等式证明的方法，考查运算求解能力及等价转化思想，可用作差比较法证明．此题用的是作差比较法，其步骤：作差、变形、判断差的符号、结论.其中判断差的符号为目的，变形是关键.常用的变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项等方法.[变式探究]求证：a2＋b2≥ab＋a＋b－1.1.分

5、析法要注意叙述的形式：“要证A，只要证B”，这里B应是A成立的充分条件.2.综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”.它们是两种思路截然相反的证明方法.分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此要注意两种方法在解题中的综合运用.[变式探究]设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.证明：证法一(综合法)∵a≥b>0，∴a2≥b2，则3a2≥2b2，则3a2－2b2≥0.又a－b≥0，∴(a－b)(3a2－2b2)≥0，即3a3－2ab2－3a2b＋2b3≥0，则3a3＋2b3≥3a2b

6、＋2ab2.故原不等式成立．证法二(分析法)要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a3＋2b3－3a2b－2ab2≥0，即3a2(a－b)＋2b2(b－a)≥0，也即(a－b)(3a2－2b2)≥0，(*)∵a≥b>0，∴a－b≥0.又a2≥b2，则3a2≥2b2，∴3a2－2b2≥0.(*)式显然成立，故原不等式成立.[审题视点](1)根据式子的特点，利用公式进行转化，根据集合相等确定m的值；(2)结合已知条件构造两个适当的数组，变形为柯西不等式的形式．经典演练提能1.已知a1≤a2，b1≤b2，则P＝a1b1＋

7、a2b2，Q＝a1b2＋a2b1的大小关系是()A.P≤QB.PQ答案：C解析：∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(b1－b2)·(a1－a2)∵a1≤a2，b1≤b2∴(b1－b2)·(a1－a2)≥0∴a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1.答案：C答案：C答案：MN限时规范特训