2019-2020年高考数学大一轮复习 第二节 不等式的证明课时作业 理（选修4-5）

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1、2019-2020年高考数学大一轮复习第二节不等式的证明课时作业理（选修4-5）一、填空题1．设a>b>0，m＝－，n＝，则m与n的大小关系是________．解析：∵a>b>0，∴m＝－>0，n＝>0.∵m2－n2＝(a＋b－2)－(a－b)＝2b－2＝2(－)<0，∴m2”、“<”、“＝”)．解析：x2＝(＋)2＝(a＋b＋2)，y2＝a＋b＝(a＋b＋a＋b)≥(a＋b

2、＋2)>(a＋b＋2)．又x>0，y>0，∴y>x.答案：>3．已知a、b、c、d均为正数，且a2＋b2＝4，cd＝1，则(a2c2＋b2d2)(b2c2＋a2d2)的最小值为________．解析：(a2c2＋b2d2)(b2c2＋a2d2)＝(a2c2＋b2d2)·(a2d2＋b2c2)≥(a2cd＋b2cd)2＝(a2＋b2)2＝42＝16.答案：164．若a，b均为正实数，且a≠b，M＝＋，N＝＋，则M、N的大小关系为________．解析：∵a≠b，∴＋>2，＋>2，∴＋＋＋>2＋2，∴＋

3、>＋.即M>N.答案：M>N5．若直线3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为________，最小值点为________．解析：由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥.当且仅当＝时等号成立，为求最小值点，需解方程组∴因此，当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为，最小值点为.答案：　6．记S＝＋＋＋…＋，则S与1的大小关系是________．解析：∵<，<，…，＝<，∴S＝＋＋＋…＋<＋＋…＋＝1.答案：S<17．若x＋2y＋4z

4、＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是________．解析：∵1＝x＋2y＋4z≤·，∴x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时x2＋y2＋z2的最小值为.答案：8．以下三个命题：①若

5、a－b

6、<1，则

7、a

8、<

9、b

10、＋1；②若a、b∈R，则

11、a＋b

12、－2

13、a

14、≤

15、a－b

16、；③若

17、x

18、<2，

19、y

20、>3，则

21、

22、<，其中正确命题的序号是________．解析：①

23、a

24、－

25、b

26、≤

27、a－b

28、<1，所以

29、a

30、<

31、b

32、＋1；②

33、a＋b

34、－

35、a－b

36、≤

37、(a＋b)＋(a－b)

38、＝

39、2a

40、，所以

41、a＋b

42、

43、－2

44、a

45、≤

46、a－b

47、；③

48、x

49、<2，

50、y

51、>3，所以<，因此<.∴①②③均正确．答案：①②③9．若正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．解析：由柯西不等式可得(3a＋2＋3b＋2＋3c＋2)≥(＋＋)2，即9≥9，所以＋＋≥1(当且仅当a＝b＝c时取等号)．答案：1二、解答题10．(1)设x，y是不全为零的实数，试比较2x2＋y2与x2＋xy的大小；(2)设a，b，c为正数，且a2＋b2＋c2＝1，求证：＋＋－≥3.解：(1)解法1：2x2＋y2－(x2＋xy)＝x

52、2＋y2－xy＝2＋y2.∵x，y是不全为零的实数，∴2＋y2>0，即2x2＋y2>x2＋xy.解法2：当xy<0时，x2＋xy<2x2＋y2；当xy>0时，作差：x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy>0；又x，y是不全为零的实数，∴当xy＝0时，2x2＋y2>x2＋xy.综上，2x2＋y2>x2＋xy.(2)证明：当a＝b＝c时，取得等号3.作差比较：＋＋－－3＝＋＋－－3＝a2＋b2＋c2－2＝a22＋b22＋c22>0.∴＋＋－≥3.11．已知f(x)＝

53、x＋1

54、＋

55、x－1

56、，不等式f(x)<

57、4的解集为M.(1)求M；(2)当a，b∈M时，证明：2

58、a＋b

59、<

60、4＋ab

61、.解：(1)f(x)<4，即

62、x＋1

63、＋

64、x－1

65、<4，当x≤－1时，－x－1＋1－x<4，得x>－2，∴－2

66、－20,4－b2>0，∴(4－a2)(4－b2)>0，即

67、16－4a2－4b2＋a2b2>0，也就是4a2＋4b2<16＋a2b2，∴4a2＋8ab＋4b2<16＋8ab＋a2b2，即(2a＋2b)2<(4＋ab)2，即2

68、a＋b

69、<

70、4＋ab

71、.1．设不等式－2<

72、x－1

73、－

74、x＋2

75、<0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：<；(2)比较

76、1－4ab

77、与2

78、a－b

79、的大小，并说明理由．解：(1)证明：记f(x)＝

80、x－1

81、－

82、x＋2

83、＝由－2<－2x－1<0，解得－

84、a

85、＋

86、b

87、<×＋×＝.(2)由(