2019-2020年高考数学二轮复习 平面向量中的线性问题专题检测（含解析）

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1、2019-2020年高考数学二轮复习平面向量中的线性问题专题检测（含解析）1．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为________．答案　(，－)解析　由题意知＝(3，－4)，所以与同方向的单位向量为＝(，－)．2．(xx·课标全国Ⅰ改编)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则化简：＋＝________.答案　解析　如图，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＝·2＝.3．(xx·北京)已知向量a，b满足

2、a

3、＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则

4、λ

5、＝_______

6、_.答案　解析　∵λa＋b＝0，∴λa＝－b，∴

7、λa

8、＝

9、－b

10、＝

11、b

12、＝＝，∴

13、λ

14、·

15、a

16、＝.又

17、a

18、＝1，∴

19、λ

20、＝.4．(xx·福建改编)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则化简：＋＋＋＝________.答案　4解析　因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知＋＝2，＋＝2，故＋＋＋＝4.5.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且

21、

22、＝2，

23、

24、＝，

25、

26、＝2，若＝λ＋μ(λ，μ

27、∈R)，则λ和μ的值分别为________．答案　2，解析　设与，同方向的单位向量分别为a，b，依题意有＝4a＋2b，又＝2a，＝b，则＝2＋，所以λ＝2，μ＝.6．(xx·四川)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.答案　2解析　由于ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴＋＝＝2，∴λ＝2.7．(xx·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案　解

28、析　如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝.8．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n(m，n>0)，则＋的最小值为________．答案　解析　＝－＝－＝＋.同理＝＋，M，O，N三点共线，故＋＝λ，即＋＝0，由于，不共线，根据平面向量基本定理得－－＝0且－＋＝0，消掉λ即得m＋n＝2，故＋＝(m＋n)＝≥(5＋4)＝.9．(xx·天津改编)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，

29、BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝________.答案　解析　∵＝＋λ，＝＋μ，∴·＝(＋λ)·(＋μ)＝·＋μ·＋λ·＋λμ·＝2×2×(－)＋4μ＋4λ＋2×2×(－)λμ＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1.∴2(λ＋μ)－λμ＝.①∵·＝(1－λ)·(1－μ)＝(λμ－λ－μ＋1)·＝2×2×(－)(λμ－λ－μ＋1)＝－2[λμ－(λ＋μ)＋1]＝－，∴λμ－(λ＋μ)＋1＝，即λμ－(λ＋μ)＝－.②由①②解得λ＋μ＝.10．在平面内，已知

30、

31、＝1，

32、

33、＝，·＝0，∠AOC＝30

34、°，设＝m＋n(m，n∈R)，则＝________.答案　±3解析　因为∠AOC＝30°，所以〈，〉＝30°.因为＝m＋n，·＝0，所以

35、

36、2＝(m＋n)2＝m2

37、

38、2＋n2

39、

40、2＝m2＋3n2，即

41、

42、＝.又·＝·(m＋n)＝m2＝m，则·＝

43、

44、·

45、

46、cos30°＝m，即1××＝m，平方得m2＝9n2，即＝9，所以＝±3.11．已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．(1)证

47、明　∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，∴与共线，且有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)解　∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.由于e1与e2不共线，只能有∴k＝±1.12．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；(3)若t1＝a2，求当⊥且△ABM的面积为12时

48、a的值．(1)解　＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.(2)证明　当t1＝1时，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)．∵＝－＝(4,4)，＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2，∴不论t2为何实数，A、B、M三点共线．(3)解　当t1＝a2时，＝(4t2,4t2＋2a2