2019-2020年高考数学一轮总复习 4.3平面向量数量积及平面向量应用举例练习

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1、2019-2020年高考数学一轮总复习4.3平面向量数量积及平面向量应用举例练习一、选择题1．已知向量a，b满足

2、a

3、＝3，

4、b

5、＝2，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D.解析　a⊥(a＋b)⇒a·(a＋b)＝a2＋a·b＝

6、a

7、2＋

8、a

9、

10、b

11、cos〈a，b〉＝0，故cos〈a，b〉＝－，故所求夹角为.答案　D2．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量＝(1,1)，n＝(1，－1)，且n·＝2，则n·等于(　　)A．－2B．2C．0D．2或－2解析　n·＝n·(＋)＝n·＋n·

12、＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.答案　B3．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为(　　)A.B.C．－D．－解析　＝(2,1)，＝(5,5)，

13、

14、＝＝5，则

15、

16、cos〈，〉＝＝.答案　A4．(xx·昆明质检)在直角三角形ABC中，∠C＝，AC＝3，取点D使＝2，那么·＝(　　)A．3B．4C．5D．6解析　如图，＝＋，又∵＝2，∴＝＋＝＋(－)，即＝＋，∵∠C＝，∴·＝0，∴·＝·＝＋·＝6，故选D.答案　D5．(xx·浙江“六市六校”联盟)若

17、a＋b

18、

19、＝

20、a－b

21、＝2

22、a

23、，则向量a＋b与a的夹角为(　　)A.B.C.D.解析　由

24、a＋b

25、＝

26、a－b

27、两边平方，得a·b＝0，由

28、a－b

29、＝2

30、a

31、两边平方，得3a2＋2a·b－b2＝0，故b2＝3a2，则(a＋b)·a＝a2＋a·b＝a2，

32、a＋b

33、＝＝2

34、a

35、，设向量a＋b与a的夹角为θ，则有cosθ＝＝＝，故θ＝.答案　B6．AD，BE分别是△ABC的中线，若

36、

37、＝

38、

39、＝1，且与的夹角为120°，则·＝(　　)A.B.C.D.解析　∵

40、

41、＝

42、

43、＝1，且与的夹角为120°，∴·＝

44、

45、

46、

47、cos120°＝－.由得∴·＝(

48、－)·＝＝＝，选D.答案　D二、填空题7．已知向量a，b夹角为45°，且

49、a

50、＝1，

51、2a－b

52、＝，则

53、b

54、＝________.解析　∵a，b的夹角为45°，

55、a

56、＝1，∴a·b＝

57、a

58、·

59、b

60、·cos45°＝

61、b

62、，∴

63、2a－b

64、2＝4－4×

65、b

66、＋

67、b

68、2＝10，∴

69、b

70、＝3.答案　38．(xx·湖北卷)若向量＝(1，－3)，

71、

72、＝

73、

74、，·＝0，则

75、

76、＝________.解析　∵

77、

78、＝

79、

80、，·＝0∴△OAB是以O为顶点的等腰直角三角形，又

81、

82、＝＝∴

83、

84、＝

85、

86、＝2.答案　29．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC

87、＝90°，AD＝2，BC＝CD＝1，P是腰DC上的动点，则

88、＋3

89、的最小值为________．解析　建立如图所示的直角坐标系，设P(0，t)，由题意可知，A(2,0)，B(1,1)，＝(2，－t)，＝(1,1－t)，＋3＝(5,3－4t)，

90、＋3

91、＝＝.当t＝时，

92、＋3

93、取得最小值5.答案　5三、解答题10．如图，平面四边形ABCD中，AB＝13，AC＝10，AD＝5，cos∠DAC＝，·＝120.(1)求cos∠BAD；(2)设＝x＋y，求x，y的值．解　(1)设∠CAB＝α，∠CAD＝β，cosα＝＝＝，cosβ＝，∴

94、sinα＝，sinβ＝.∴cos∠BAD＝cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.(2)由＝x＋y得∴解得11．已知向量a＝(4,5cosα)，b＝(3，－4tanα)，α∈，a⊥b，求：(1)

95、a＋b

96、；(2)cos的值．解　(1)因为a⊥b，所以a·b＝4×3＋5cosα×(－4tanα)＝0，解得sinα＝，又因为α∈，所以cosα＝，tanα＝＝，所以a＋b＝(7,1)，因此

97、a＋b

98、＝＝5.(2)cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝×－×＝.1．(xx·浙江卷)设θ为两个非零向

99、量a，b的夹角．已知对任意实数t，

100、b＋ta

101、的最小值为1.(　　)A．若θ确定，则

102、a

103、唯一确定B．若θ确定，则

104、b

105、唯一确定C．若

106、a

107、确定，则θ唯一确定D．若

108、b

109、确定，则θ唯一确定解析　

110、b＋ta

111、2＝(b＋ta)2＝

112、b

113、2＋

114、a

115、2t2＋2a·bt，令f(t)＝

116、a

117、2t2＋2a·bt＋

118、b

119、2，由于

120、b＋ta

121、的最小值为1，所以函数f(t)的最小值也为1，即＝1.又a，b均为非零向量，且夹角为θ，因此

122、b

123、2－

124、b

125、2cos2θ＝1，于是

126、b

127、2＝，因此当θ确定时，

128、b

129、2的值唯一确定，亦即

130、b

131、唯一确定．答

132、案　B2．(xx·重庆卷)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，

133、b

134、＝，则a·b＝________.解析　由题意得

135、a

136、＝2，所以a·b＝

137、a

138、

139、b

140、cos〈a，b〉＝2××＝10.答案　103．(xx·天津卷)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上