2019-2020年高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 五 与圆有关的比例线段课堂探究 新人教A版选修4-1

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1、2019-2020年高中数学第二讲直线与圆的位置关系五与圆有关的比例线段课堂探究新人教A版选修4-1探究一相交弦定理的应用相交弦定理的结论是线段成比例，也可以看成等式，因此利用相交弦定理既可以得到成比例线段，又可以建立方程来解决问题．如下面的典型例题1中，利用相交弦定理列出关于r的方程．【典型例题1】如图，过⊙O内一点A作直线，交⊙O于B，C两点，且AB·AC＝64，OA＝10，则⊙O的半径r＝__________.解析：如图所示，作直线OA交⊙O于E，F两点，则AE＝r－10，AF＝r＋10.由相交弦定理，得(r－10)(r＋10)＝64

2、，解得r1＝2，r2＝－2(不合题意，舍去)．故r＝2.答案：2点评BC为⊙O的一条弦，再找到直径EF，利用相交弦定理即可．探究二割线定理、切割线定理的应用有切线和割线，往往就考查割线定理、切割线定理，而且有时需要通过转化、代换，才能运用定理解题．【典型例题2】如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于点A和点B，PA＝6cm，AB＝8cm，PO＝10.9cm，求⊙O的半径．思路分析：由于PO既不是⊙O的切线，也不是割线，故需将PO延长交⊙O于点D，构成圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用割线定理解题即可．解：如图，将PO延长交⊙O于D

3、.根据割线定理，可得PA·PB＝PC·PD.设⊙O的半径为rcm，则6×(6＋8)＝(10.9－r)(10.9＋r)，解得r＝5.9，即⊙O的半径为5.9cm.反思如果已知条件中出现过圆外同一点的圆的割线，那么常用到割线定理．本题中，利用割线定理列出了关于半径r的方程，进而求出了r的值．【典型例题3】如图，AB切⊙O于B，ACD为割线，E为的中点，BE交DC于F，求证：AF2＝AC·AD.思路分析：由切割线定理可知AC·AD＝AB2，故只需证AF＝AB即可．证明：连接BC，BD.∵E为的中点，∴∠DBE＝∠CBE.又AB是⊙O的切线，∴∠A

4、BC＝∠CDB.∴∠ABC＋∠CBE＝∠DBE＋∠CDB，即∠ABF＝∠AFB.∴AB＝AF.又AB是⊙O的切线，ACD为割线，由切割线定理可知AC·AD＝AB2，∴AF2＝AC·AD.点评已知条件中同时出现过圆外同一个点的切线和割线，那么常用到切割线定理．探究三切线长定理的应用如果已知条件中出现过圆外同一点的切线，那么常用到切线长定理．要注意分析其中的等量关系，即①切线长相等，②圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合直角三角形、相似三角形等图形的有关性质进行计算与证明．【典型例题4】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的

5、切线与过A，B两点的切线分别交于点E，F，AF与BE交于点P.求证：∠EPC＝∠EBF.思路分析：→→→→证明：∵EA，EF，FB是⊙O的切线，∴EA＝EC，FC＝FB.∵EA，FB切⊙O于A，B，AB是直径，∴EA⊥AB，FB⊥AB.∴EA∥FB.∴＝.∴＝，∴CP∥FB.∴∠EPC＝∠EBF.探究四易错辨析易错点：因定理结论记忆不清致误【典型例题5】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，以OB为半径作圆交AC于E，F，交AB于D.若E是的中点，且AE∶EF＝3∶1，FC＝4，求∠CBF的正弦值及BC的长．

6、错解：连接OE，DF，OF.∵E为的中点，∴∠DOE＝∠DBF.∴OE∥BF，∴AO∶OB＝AE∶EF＝3∶1，∴OE∶BF＝3∶4.设OB＝r，则OA＝3r，BF＝r.∴AD＝AO－DO＝AO－OB＝3r－r＝2r.又由割线定理得，AF·AD＝AE·AB，∴＝＝＝2.错因分析：不能正确运用割线定理，因不满足定理对应条件而致误．正解：如图，连接OE，DF，OF，∵E为的中点，∴∠DOE＝∠DBF，∴OE∥BF，∴AO∶OB＝AE∶EF＝3∶1，∴OE∶BF＝3∶4.设OB＝r，则AO＝3r，BF＝r，∴AD＝AO－DO＝AO－OB＝3r－r

7、＝2r.又由割线定理得AE·AF＝AD·AB.∴AE·AF＝2r·4r，即3EF·4EF＝8r2，∴EF＝r.又由切割线定理，得BC2＝CF·CE＝4(4＋EF)＝4.在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，即(4r)2＋4＝(4EF＋4)2＝2，解得r＝，∴BC＝.又∵∠CBF＝∠BDF，在Rt△DFB中，sin∠BDF＝＝，∴sin∠CBF＝.