2012年中考数学提分精讲第31讲_点与圆直线与圆的位置关系

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1、第31讲点与圆、直线与圆的位置关系考点知识精讲中考典例精析考点训练举一反三考点一点与圆的位置关系1．点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么：(1)点在圆上⇔d＝r；(2)点在圆内⇔dr.2．过三点的圆(1)经过三点作圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．(2)三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．(3)三角形外接圆的作法

2、：①确定外心：作任意两边的中垂线，交点即为外心；②确定半径：两边中垂线的交点到三角形任一个顶点的距离作为半径．温馨提示：锐角三角形的外心在三角形内部;直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部.考点二直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系的有关概念(1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆____，这时的直线叫做圆的；(2)直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆，唯一的公共点叫做______，这时的直线叫做圆的；(3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆．2．直线和圆的位置关系的性质与判定如果⊙O的半径为r，圆

3、心O到直线l的距离为d，那么：(1)直线l和⊙O相交⇔dr.割线相切相离切线相交切点考点三切线的判定和性质1．切线的判定方法(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的；(3)过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线．2．切线的性质(1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的；(2)推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过；(3)推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______.切线半径圆心切点考点四切线长定理1．

4、切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角．(1)(2011·上海)矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP.如果⊙P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是()A．点B、C均在圆P外B．点B在圆P外，点C在圆P内C．点B在圆P内，点C在圆P外D．点B、C均在圆P内(2)(2011·成都)已知⊙O的面积为9πcm2，若点O到直线l的距离为πcm，则直线l与

5、⊙O的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．无法确定(3)(2011·宜宾)如图所示,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC＝________.【点拨】解答本组题时要注重数形结合思想．(2011·陕西)如图,在△ABC中,∠B＝60°,⊙O是△ABC的外接圆,过点A作⊙O的切线,交CO的延长线于点P,CP交⊙O于点D.(1)求证：AP＝AC；(2)若AC＝3，求PC的长．【点拨】当圆中出现切线时，一般需要连接过切点的半径，构造直角三角形．【解答】(1)证明:如图所示,连接AO,则A

6、O⊥PA.∴∠AOC=2∠B=120°.∴∠AOP=60°,∴∠P=30°.又∵OA=OC，∴∠ACP＝30°.∴∠P＝∠ACP.∴AP＝AC.(2011·芜湖)如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若CD＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．【点拨】证切线时，一般需“连半径，证垂直，得切线”．【解答】(1)证明：连接OC.∵点C在⊙O上，OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∵CD⊥PA，∴∠CDA＝90

7、°，∴∠CAD＋∠DCA＝90°.∵AC平分∠PAE，∴∠DAC＝∠CAO.∴∠DCO＝∠DCA＋∠ACO＝∠DCA＋∠CAO＝∠DCA＋∠DAC＝90°.∴DC⊥CO.又∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线．(2)解：过O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，∴四边形OCDF为矩形，∴OC＝FD，OF＝CD.∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x.∵⊙O的直径为10，∴DF＝OC＝5.∴AF＝5－x.在Rt△AOF中，由勾股定理知AF2＋OF2＝OA2，即(5－x)2＋(

8、6－x)2＝25.化简得x2－11x＋18＝0，解得x＝2或x＝9.由AD＜DF，知0＜x＜5，故x＝2.从而AD＝2，AF＝5－2＝3.∵OF⊥AB，由垂径定理知F为AB的中点，∴AB＝2AF＝6.1．如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且OP＝5，PA＝4，则sin∠