2019-2020年高中数学 第3章 空间向量与立体几何章末复习提升 苏教版选修2-1

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1、2019-2020年高中数学第3章空间向量与立体几何章末复习提升苏教版选修2-11．空间向量(1)空间向量的知识脉络：向量的概念→向量的运算→基本定理→直角坐标系→向量的坐标运算→应用．(2)空间向量的概念：①定义：具有大小和方向的量称为向量；②向量相等：长度相等且方向相同．(3)空间向量的运算：①加法法则：平行四边形法则，三角形法则；②减法法则：三角形法则；③向量的数量积：a·b＝

2、a

3、

4、b

5、cosθ(θ为a与b的夹角)．(4)空间向量的坐标运算：若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则①加减法：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)；②实数与向

6、量积：λa＝(λx1，λy1，λz1)；③数量积：a·b＝x1·x2＋y1·y2＋z1·z2；④a的模：

7、a

8、＝.(5)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a、b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉；且规定0≤〈a，b〉≤π，显然有〈a，b〉＝〈b，a〉；若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.令a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉＝＝.(6)空间向量平行、垂直的条件：①两向量垂直：a⊥b⇔a·b＝0；②两向量平行：a∥b⇔b＝λa(a为非零向量)．(7)空间向量基本定理：如果三个向量

9、a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组x、y、z，使p＝xa＋yb＋zc.(8)空间共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量c与向量a、b共面的充要条件是存在惟一的一对实数x、y，使c＝xa＋yb.2．平面的法向量若向量a所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．3．用空间向量处理立体几何问题的常用方法(1)证明空间的平行证明直线与平面平行，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明平面与平面平行，可转化为证明这两个平面的法向量平行．证明直线和平面平行，也可以使用下面的定理：如

10、图①，已知直线a⊄平面α，A，B∈a，C，D∈α，且C、D、E三点不共线，则a∥α的充要条件是存在有序实数对λ，μ使＝λ＋μ.使用此定理时，我们常设＝λ＋μ，求λ，μ；若λ，μ存在即可证明a∥α；若λ，μ不存在，则直线a与平面α相交．　　图①　　　　　　　图②　　　　　　　图③(2)证明空间的垂直证明直线与平面垂直，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线；证明平面与平面垂直，可转化为证明这两个平面的法向量互相垂直．(3)求空间的角立体几何中的角的计算，均可转化为两个向量的夹角的计算：①异面直线所成角即为异面直线上两向量的夹角，但要注意向量的夹角范围是[0，π]，而异

11、面直线所成角的范围是(0，]．②平面的斜线的方向向量与平面法向量的夹角余弦的绝对值等于该斜线与平面所成角的正弦，由此可求斜线与平面所成的角．③如图②，设n1，n2分别是二面角αlβ中平面α，β的法向量，则n1，n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角．(4)求空间的距离两平行平面间的距离、直线与平面的距离都可转化为点到平面的距离；利用法向量可求点到平面的距离：如图③，设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条射线，其中A∈α，则点B到平面α的距离为.题型一　空间向量及其运算空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算

12、律与平面向量基本一致．主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，这是用向量法求解立体几何问题的基础．例1　沿着正四面体OABC的三条棱、、的方向有大小等于1、2和3的三个力f1，f2，f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦值．解　如图所示，用a，b，c分别代表棱、、上的三个单位向量，则f1＝a，f2＝2b，f3＝3c，则f＝f1＋f2＋f3＝a＋2b＋3c，∴

13、f

14、2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c)＝

15、a

16、2＋4

17、b

18、2＋9

19、c

20、2＋4a·b＋6a·c＋12b·c＝14＋4cos60°＋6cos60°＋12cos60°＝14＋2＋3＋6＝2

21、5，∴

22、f

23、＝5，即所求合力的大小为5.且cos〈f，a〉＝＝＝＝，同理可得：cos〈f，b〉＝，cos〈f，c〉＝.跟踪演练1　如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：①＋＋＋＝0；②＋－－＝0；③－＋－＝0；④·＝·；⑤·＝0，其中正确结论的序号是________．答案　③④解析　容易推出：－＋－＝＋＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2·2·cos∠ASB，·＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝