2019-2020年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 1.5空间向量的数量积 苏教版选修2-1

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1、2019-2020年高中数学第3章空间向量与立体几何1.5空间向量的数量积苏教版选修2-1课时目标　1.掌握空间向量的夹角及空间向量数量积的概念.2.掌握空间向量的运算律及其坐标运算.3.掌握空间向量数量积的应用．1．两向量的夹角如图所示，a,b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则__________叫做向量a与向量b的夹角，记作__________．如果〈a，b〉＝，那么向量a，b______________，记作__________．2．数量积的定义已知两个非零向量a，b，则____________叫做

2、向量a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝__________.零向量与任一向量的数量积为0.特别地，a·a＝

3、a

4、·

5、a

6、cos〈a，a〉＝________.3．数量积的运算律空间向量的数量积满足如下的运算律：(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)；a·b＝b·a；a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．数量积的坐标运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a·b＝________________；(2)a⊥b⇔__________⇔____________________________；(3)

7、a

8、＝

9、＝______________；(4)cos〈a，b〉＝____________＝_________________________________________.一、填空题1．若a，b均为非零向量，则a·b＝

10、a

11、

12、b

13、是a与b共线的____________条件．2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么

14、a＋3b

15、＝________.3．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，

16、λa＋b

17、＝且λ>0，则λ＝________.4．若a、b、c为任意向量，下列命题是真命题的是____．(写出所有符合要求

18、的序号)①若

19、a

20、＝

21、b

22、，则a＝b；②若a·b＝a·c，则b＝c；③(a·b)·c＝(b·c)·a＝(c·a)·b；④若

23、a

24、＝

25、b

26、，且a与b夹角为45°，则(a－b)⊥b.5．已知向量a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，若a与b成120°角，则k＝________.6.设O为坐标原点，向量＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为________．7．向量(a＋3b)⊥(7a－5b)，(a－4b)⊥(7a－2b)，则a和b的夹角为_________

27、___．8．若向量a，b满足

28、a

29、＝1，

30、b

31、＝2，且a与b的夹角为，则

32、a＋b

33、＝________.二、解答题9.如图，已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC.求证：OA⊥BC.10.在正四面体ABCD中，棱长为a，M、N分别是棱AB、CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，求MN.能力提升11.如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长．12．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝

34、2,并取A1B1、A1A的中点分别为P、Q.(1)求的长；（2）求cos〈，〉，cos〈，〉，并比较〈，〉与〈，〉的大小；(3)求证：⊥.1．数量积可以利用基底或坐标两种形式进行运算．选择基底时，应注意三个基向量的长度，两两之间的夹角应该是确定的；当所选基向量两两互相垂直时，用坐标运算更为方便．2．利用数量积可以求向量的长度和向量的夹角．3．1.5　空间向量的数量积知识梳理1．∠AOB　〈a，b〉　互相垂直　a⊥b2．

35、a

36、

37、b

38、cos〈a，b〉　

39、a

40、

41、b

42、cos〈a，b〉　

43、a

44、24．(1)a1b1＋a2b2＋a3b3　

45、(2)a·b＝0　a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　(3)(4)　作业设计1．充分不必要解析　a·b＝

46、a

47、

48、b

49、cos〈a，b〉＝

50、a

51、

52、b

53、cos〈a，b〉＝1〈a，b〉＝0，但当a与b反向时，不能成立．2.解析　∵

54、a＋3b

55、2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6·cos60°＋9＝13.∴

56、a＋3b

57、＝.3．3解析　∵a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，∴λa＋b＝(4,1－λ，λ)．∵

58、λa＋b

59、＝，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29.∴λ＝3或λ＝－2.∵λ>0，∴λ＝3.4．④解析　两个向量

60、的等价条件是模长相等且方向相同，故命题①错；a·b＝

61、a

62、·

63、b

64、cos〈a，b〉，而a·c＝

65、a

66、·

67、c

68、·cos〈a，c〉，于是由a·b＝a·c推出的是

69、b

70、cos〈a，b〉＝

71、c

72、·cos〈a，c〉，故命题②错；向量的数量积运算不满足结合律，故命题③错；(a－b)·b＝a·b－b2＝