2019-2020年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 1.3空间向量基本定理 苏教版选修2-1

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1、2019-2020年高中数学第3章空间向量与立体几何1.3空间向量基本定理苏教版选修2-1课时目标　1.掌握空间向量基本定理.2.能正确选择合适基底，并正确表示空间向量．1．空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得______________________．由此可知，如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量组成的集合就是________________________________．这个集合可看作是由向量e1，e2，e3生成的，我们把__________叫做空间的一个基底，___________

2、_都叫做基向量．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．2．正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是______________，那么这个基底叫做正交基底，当一个正交基底的三个基向量都是______________时，称这个基底为单位正交基底，通常用____________表示．3．推论设O，A，B，C是__________的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得______________________．一、填空题1．若存在实数x、y、z，使＝x＋y＋z成立，则下列判断正确的是________．(写出正确的序号)①对于某些x、y、z的

3、值，向量组{，，}不能作为空间的一个基底；②对于任意的x、y、z的值，向量组{，，}都不能作为空间的一个基底；③对于任意的x、y、z的值，向量组{，，}都能作为空间的一个基底；④根据已知条件，无法作出相应的判断．2.设O-ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且＝x＋y＋z，则(x，y，z)为____________．3．在以下3个命题中，真命题的个数是________．①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且

4、λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．4．若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是________．(写出符合要求的序号)①a,2b,3c；②a＋b，b＋c，c＋a；③a＋2b,2b＋3c,3a－9c；④a＋b＋c，b，c.5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是______________．6．下列结论中，正确的是________．(写出所有正确的序号)①若a、b、c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；②若a、b、c不共面，则不存在实数x，y，使a＝

5、xb＋yc；③若a、b、c共面，b、c不共线，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；④若a＝xb＋yc，则a、b、c共面．7.如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上且OM＝MA，BN＝NC，则＝__________________.8．命题：①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；②向量a、b、c共面，则它们所在的直线也共面；③若a与b共线，则存在惟一的实数λ，使b＝λa.上述命题中的真命题的个数是________．二、解答题9．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，那么向量a＋b，b＋c，c＋a能构成空间的一个基底吗？为什么？10.如图所示，在长方体ABCD—

6、A1B1C1D1中，O为AC的中点．（1）化简：－－；(2)设E是棱DD1上的点且＝，若＝x＋y＋z，试求x、y、z的值．能力提升11.如图所示，已知平行六面体ABCD—A′B′C′D′.求证：＋＋＝2.12.如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，试用向量a、b、c表示向量.1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．2．利用向量解决立体几何中的一些问题时，其一般思路是将要解决的问题用向量表示，用已知向量表示所需向量，对表示出的所需

7、向量进行运算，最后再将运算结果转化为要解决的问题．3．1.3　空间向量基本定理知识梳理1．p＝xe1＋ye2＋ze3　{p

8、p＝xe1＋ye2＋ze3，x，y，z∈R}　{e1，e2，e3}　e1，e2，e32．两两互相垂直　单位向量　{i，j，k}3．不共面　＝x＋y＋z作业设计1．①解析　当，，共面时，则，，共面，故不能构成空间的一个基底．2．(，，)解析　因为＝＝(＋)＝＋×[(＋)]＝＋[(－)＋(－)]＝＋＋，而＝x＋y＋