2018-2019学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何章末复习课学案 苏教版选修2-1

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1、第3章空间向量与立体几何[体系构建][自我校对]①数乘运算②空间向量的数量积③垂直④夹角⑤数乘结合律⑥线面关系⑦点面距[题型探究]空间向量及其运算空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算.空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致.主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算,这是用向量法求解立体几何问题的基础. 沿着正四面体OABC的三条棱,,的方向有大小等于1,2和3的三个力f1,f2,f3,试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦值.【导学号:71392211】[精彩点

2、拨] 用向量表示f1,f2,f3,再根据模与夹角的向量运算公式求解.[规范解答] 如图所示,用a,b,c分别代表棱,,上的三个单位向量,则f1=a,f2=2b,f3=3c,则f=f1+f2+f3=a+2b+3c,∴

3、f

4、2=(a+2b+3c)(a+2b+3c)=

5、a

6、2+4

7、b

8、2+9

9、c

10、2+4a·b+6a·c+12b·c=14+4cos60°+6cos60°+12cos60°=14+2+3+6=25,∴

11、f

12、=5,即所求合力的大小为5.且cos〈f,a〉====,同理可得:cos〈f,b〉=,cos〈f,c〉=.[再练一

13、题]1.如图31,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,S到A,B,C,D的距离都等于2.给出以下结论:①+++=0;②+--=0;③-+-=0;④·=·;⑤·=0.其中正确结论的序号是________.图31[解析] 容易推出:-+-=+=0,所以③正确;又因为底面ABCD是边长为1的正方形,SA=SB=SC=SD=2,所以·=2·2·cos∠ASB,·=2·2·cos∠CSD,而∠ASB=∠CSD,于是·=·,因此④正确,其余三个都不正确,故正确结论的序号是③④.[答案] ③④空间平行与垂直的证明向量作为

14、工具来研究几何,真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合;给立体几何的研究带来了极大的便利,利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系,如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等.利用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下:(1)线线平行证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量.(2)线线垂直证明两条直线垂直,只需证明两直线的方向向量垂直,则a⊥b⇔a·b=0.(3)线面平行用向量证明线面平行的方法主要有:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明平面内一个向量与直线的方向向量是共线向量;③利用

15、共面向量定理证明,即用平面内两不共线向量线性表示直线的方向向量.(4)线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有:①证明直线的方向向量与平面的法向量平行;②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.(5)面面平行①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量);②转化为线面平行、线线平行问题.(6)面面垂直①证明两个平面的法向量互相垂直;②转化为线面垂直、线线垂直问题. 已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,边长为2a,AD=DE=2AB,F为CD的中点.图32(1)求证:AF∥平面BCE;(2)求证:平面BC

16、E⊥平面CDE.【导学号:71392212】[精彩点拨] 建立空间直角坐标系,(1)利用向量,可用平面BCE内的两个不共线向量表示证明;(2)题可利用(1)的结论证明.[规范解答] 依题意,以AC所在的直线为x轴,AB所在的直线为z轴,过点A且垂直于AC的直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,a,0),E(a,a,2a).∵F为CD的中点,∴F.(1)易知,=,=(a,a,a),=(2a,0,-a).∵=(+),AF⊄平面BCE,∴AF∥平面BCE.(2)

17、∵=,=(-a,a,0),=(0,0,-2a),∴·=0,·=0,∴⊥,⊥,即AF⊥CD,AF⊥ED.又CD∩ED=D,∴AF⊥平面CDE.又AF∥平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE.[再练一题]2.正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°,求证:EF⊥平面BCE.[证明] 因为△ABE为等腰直角三角形,所以AB=AE,AE⊥AB.又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE⊂平面ABEF,平面ABEF∩平面ABCD=AB,所以AE⊥平面ABC

18、D,所以AE⊥AD,因此AD,AB,AE两两垂直.以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设AB=1,则AE=1,B(0,1,0),E(0,0,1),C(1,1,0).因为FA=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°,从而F,所以=,=(0,-1,1),=(1,0,0)

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