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《2018-2019学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何章末复习课学案 苏教版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3章空间向量与立体几何[体系构建][自我校对]①数乘运算②空间向量的数量积③垂直④夹角⑤数乘结合律⑥线面关系⑦点面距[题型探究]空间向量及其运算空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致．主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，这是用向量法求解立体几何问题的基础． 沿着正四面体OABC的三条棱，，的方向有大小等于1,2和3的三个力f1，f2，f3，试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦值.【导学号：71392211】[精彩点
2、拨] 用向量表示f1，f2，f3，再根据模与夹角的向量运算公式求解．[规范解答] 如图所示，用a，b，c分别代表棱，，上的三个单位向量，则f1＝a，f2＝2b，f3＝3c，则f＝f1＋f2＋f3＝a＋2b＋3c，∴
3、f
4、2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c)＝
5、a
6、2＋4
7、b
8、2＋9
9、c
10、2＋4a·b＋6a·c＋12b·c＝14＋4cos60°＋6cos60°＋12cos60°＝14＋2＋3＋6＝25，∴
11、f
12、＝5，即所求合力的大小为5.且cos〈f，a〉＝＝＝＝，同理可得：cos〈f，b〉＝，cos〈f，c〉＝.[再练一
13、题]1．如图31，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.给出以下结论：①＋＋＋＝0；②＋－－＝0；③－＋－＝0；④·＝·；⑤·＝0.其中正确结论的序号是________．图31[解析] 容易推出：－＋－＝＋＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2·2·cos∠ASB，·＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.[答案] ③④空间平行与垂直的证明向量作为
14、工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合；给立体几何的研究带来了极大的便利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等．利用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下：(1)线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．(2)线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则a⊥b⇔a·b＝0.(3)线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明平面内一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用
15、共面向量定理证明，即用平面内两不共线向量线性表示直线的方向向量．(4)线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．(5)面面平行①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．(6)面面垂直①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题． 已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，边长为2a，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．图32(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BC
16、E⊥平面CDE.【导学号：71392212】[精彩点拨] 建立空间直角坐标系，(1)利用向量，可用平面BCE内的两个不共线向量表示证明；(2)题可利用(1)的结论证明．[规范解答] 依题意，以AC所在的直线为x轴，AB所在的直线为z轴，过点A且垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)．∵F为CD的中点，∴F.(1)易知，＝，＝(a，a，a)，＝(2a,0，－a)．∵＝(＋)，AF⊄平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)
17、∵＝，＝(－a，a,0)，＝(0,0，－2a)，∴·＝0，·＝0，∴⊥，⊥，即AF⊥CD，AF⊥ED.又CD∩ED＝D，∴AF⊥平面CDE.又AF∥平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.[再练一题]2．正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°，求证：EF⊥平面BCE.[证明] 因为△ABE为等腰直角三角形，所以AB＝AE，AE⊥AB.又因为平面ABEF⊥平面ABCD，AE⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以AE⊥平面ABC
18、D，所以AE⊥AD，因此AD，AB，AE两两垂直．以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设AB＝1，则AE＝1，B(0,1,0)，E(0,0,1)，C(1,1,0)．因为FA＝FE，∠AEF＝45°，所以∠AFE＝90°，从而F，所以＝，＝(0，－1,1)，＝(1,0,0)
