§5-4定积分在几何上的应用

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1、二、平面图形的面积三、体积§5—4定积分在几何上的应用四、平面曲线的弧长一、定积分的元素法一、定积分的元素法（P286）在定积分的应用中，经常采用“元素法”。为了说明这种方法，我们回顾引入定积分的概念时曾经举的两个例子：曲边梯形的面积、变速直线运动的路程。这两个问题最终都归结为定积分的计算，且它们都满足下述三个条件：有关的量；(1)所求的量是与一个变量的变化区间(2)量对于区间具有可加性；的近似值可表示为(3)部分量一般地，如果一个量满足上述三个条件，我们就可以考虑用定积分来表示这个量。确定量的积分表达式的步骤是：（1）根据问题的具体情况，选取积分变量并确定其变化区间;（2）在区间上任取

2、一小区间,求出相应于此区间的所求量的部分量的近似值：（3）计算所求量这个方法就称为定积分的元素法（或微元法）。称为所求量的元素（或微元）。下面我们利用这一方法来求曲边梯形的面积。a[f2(x)f1(x)]dx,二、平面图形的面积设平面图形由上下两条曲线yf1(x)与yf2(x)及左右两条直线xa与xb所围成.因此平面图形的面积为在点x处的面积增量的近似值为1.直角坐标情形(P287)它也就是面积元素:dA=[f2(x)f1(x)]dx注：图中“上”对应函数符号的下标“2”，“下”对应函数符号的下标“1”讨论：由左右两条曲线x1(y)与x2(y)及上下两条直线yd与yc

3、所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？提示：面积为面积元素为[j2(y)j1(y)]dy,注：图中“右”对应函数符号的下标“2”，“左”对应函数符号的下标“1”(3)确定上下曲线：f2(x)=,f1(x)=x2.例1计算抛物线y2x与yx2所围成的图形的面积.解(2)确定在x轴上的投影区间:(5)计算积分[0,1];(1)画图;(4)确定面积元素：例2计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积.解(1)画图;(2)确定在y轴上的投影区间:[-2,4].(3)确定左右曲线:(4)求面积元素：(5)计算积分y22xyx4解两曲线的交点选为积分变量例3计算由曲线y=x

4、3－6x和y=x2所围成的图形的面积.于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？曲边扇形曲边扇形的面积元素曲边扇形是由曲线()及射线,所围成的图形.曲边扇形的面积2.极坐标情形（P291）注意：对照教材的写法：“θ”对应教材的“”，“”对应教材的“”.例4计算阿基米德螺线a(a>0)上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解例5计算心形线2a(2cos)(a>0)所围成的图形的面积.解.曲边扇形的面积：旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体

5、.三、体积1.旋转体的体积（P293）旋转体的体积元素考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片,用圆柱体的体积[f(x)]2dx作为切片体积的近似值,旋转体的体积于是体积元素为dV[f(x)]2dx.解旋转椭球体可以看作是由半个椭圆及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.旋转椭球体的体积为旋转体的体积：旋转体(旋转椭球体)的体积.例6计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的设立体在x轴上的投影区间为[a,b],立体内垂直于x轴的截面面积为A(x).立体的体积元素为:立体的体积为:2.平行截面面积为已知的立体的体积（P295）dV=A(x)dx.A(x)abA(x)xyo截面面积为A

6、(x)的立体体积：例7一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角.计算这平面截圆柱所得立体的体积.建立坐标系如图,则底圆的方程为x2y2R2.所求立体的体积为解立体中过点x且垂直于x轴的截面为直角三角形,其面积为三、平面曲线的弧长设曲线弧由直角坐标方程yf(x)(axb)给出,其中f(x)在区间[a,b]上具有一阶连续导数.现在来计算这曲线弧的长度.在曲率一节中,我们已经知道弧微分的表达式为这也就是弧长元素.因此,曲线弧的长度为1、直角坐标情形（P296）解：曲线yf(x)(axb)的弧长：例8计算曲线ylnx上相应于的一段弧的长度令即则设曲线弧由参数

7、方程x(t)、y(t)(t)给出,其中(t)、(t)在[,]上具有连续导数.于是曲线弧的长为曲线yf(x)(axb)的弧长：2、参数方程情形（P298）因为，所以弧长元素为曲线x(t)、y(t)(t)的弧长：解:曲线yf(x)(axb)的弧长：例9计算星形线,的全长.用参数方程的弧长公式设曲线弧由极坐标方程()()给出,其中()在[,]上具有连续导数.因