2019-2020年(新课程)高中数学《1.3.2-2 函数奇偶性的应用》课外演练 新人教A版必修1

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1、2019-2020年(新课程)高中数学《1.3.2-2函数奇偶性的应用》课外演练新人教A版必修1一、选择题1.有下列4个命题:①偶函数的图象一定与纵轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③即是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R);④偶函数的图象关于纵轴对称.其中正确的命题有(  )A.1个        B.2个C.3个D.4个解析:只有④正确,③中x∈R,定义域只要关于原点对称即可.函数f(x)=0不唯一.答案:A2.若函数y=f(x)的定义域是[0,1],则下列函数中,可能是偶函数的一个为(  )A

2、.y=[f(x)]2B.y=f(2x)C.y=f(

3、x

4、)D.y=f(-x)解析:A、B、D三项函数的定义域不关于原点对称.答案:C3.已知y=f(x)是偶函数,且其图象与x轴有4个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是(  )A.0B.1C.2D.4解析:∵f(x)是偶函数,且f(-x)=f(x).答案:A4.设f(x)是定义在R上的任意一个增函数,G(x)=f(x)-f(-x),则G(x)必定为(  )A.增函数且为奇函数B.增函数且为偶函数C.减函数且为奇函数D.减函数且为偶函数解析:f(x)的定义域为R,

5、则G(x)=f(x)-f(-x)的定义域为R,又G(-x)=f(-x)-f(x)=-G(x),∴G(x)为奇函数.设x1f(-x2)∴f(x1)-f(x2)<0,-[f(-x1)-f(-x2)]<0,即G(x1)

6、0,x2<0时有

7、x1

8、<

9、x2

10、,则(  )A.f(-x1)>f(-x2)B.f(-x1)=f(-x2)C.f(-x1)0时f(x)递减,∴f(-x1)>f(-x2).答案:A6.f(x)是R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)为(  )A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5解析:f(x+4)=-f(x+2)=f(x).∴f(7.5)=f(3

11、.5)=f(-0.5+4)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.答案:B二、填空题7.若y=(a-1)x2-2ax+3为偶函数,则在(-∞,3]内函数的单调区间为________.解析:a=0,y=-x2+3结合二次函数的单调性知.答案:(-∞,0)上为增函数,在[0,3]上为减函数.8.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx的奇偶性是________.解析:∵f(x)=ax2+bx+c是偶函数,∴b=0,g(x)=ax3+cx,即为奇函数.答案:奇函数9.设定义在R

12、上的函数f(x)恒大于0,则下列函数:①y=-f(x)f(-x),②y=xf(x2),③y=-f(-x),④y=f(x)-f(-x)中必为奇函数的有________.(要求填写正确答案的序号)解析:令g(x)=-f(x)f(-x),则g(-x)=-f(-x)f(x)=g(x),∴y=-f(x)f(-x)为偶函数;令g(x)=xf(x2),则g(-x)=(-x)f[(-x)2]=-xf(x2)=-g(x),∴y=xf(x2)为奇函数.令g(x)=-f(-x),则g(-x)=-f(x)与g(x)=-f(-x)不一定有关

13、系,∴y=-f(-x)不一定是奇函数.令g(x)=f(x)-f(-x),则g(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-g(x),∴y=f(x)-f(-x)为奇函数.答案:②④三、解答题10.已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x

14、x-2

15、,求x<0时,f(x)的表达式.解:∵x<0,则-x>0,∴f(-x)=(-x)

16、(-x)-2

17、.又f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-(-x)

18、(-x)-2

19、=x

20、x+2

21、.故当x<0时,f(x)=x

22、x+2

23、.11.已知函数f(x)对一切

24、x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),(1)求证:f(x)是奇函数;(2)若f(-3)=a,试用a表示f(12).解:(1)由已知f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x),令x=y=0得f(0)=2f(0),∴f(0)=0.∴f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数.(2)∵f(x)为奇

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