2019-2020年（新课程）高中数学《1.3.2-2 函数奇偶性的应用》课外演练 新人教A版必修1

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1、2019-2020年（新课程）高中数学《1.3.2-2函数奇偶性的应用》课外演练新人教A版必修1一、选择题1．有下列4个命题：①偶函数的图象一定与纵轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③即是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)；④偶函数的图象关于纵轴对称．其中正确的命题有(　　)A．1个　　　　　　　　B．2个C．3个D．4个解析：只有④正确，③中x∈R，定义域只要关于原点对称即可．函数f(x)＝0不唯一．答案：A2．若函数y＝f(x)的定义域是[0,1]，则下列函数中，可能是偶函数的一个为(　　)A

2、．y＝[f(x)]2B．y＝f(2x)C．y＝f(

3、x

4、)D．y＝f(－x)解析：A、B、D三项函数的定义域不关于原点对称．答案：C3．已知y＝f(x)是偶函数，且其图象与x轴有4个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是(　　)A．0B．1C．2D．4解析：∵f(x)是偶函数，且f(－x)＝f(x)．答案：A4．设f(x)是定义在R上的任意一个增函数，G(x)＝f(x)－f(－x)，则G(x)必定为(　　)A．增函数且为奇函数B．增函数且为偶函数C．减函数且为奇函数D．减函数且为偶函数解析：f(x)的定义域为R，

5、则G(x)＝f(x)－f(－x)的定义域为R，又G(－x)＝f(－x)－f(x)＝－G(x)，∴G(x)为奇函数．设x1f(－x2)∴f(x1)－f(x2)<0，－[f(－x1)－f(－x2)]<0，即G(x1)

6、0，x2<0时有

7、x1

8、<

9、x2

10、，则(　　)A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)0时f(x)递减，∴f(－x1)>f(－x2)．答案：A6．f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)为(　　)A．0.5B．－0.5C．1.5D．－1.5解析：f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(7.5)＝f(3

11、.5)＝f(－0.5＋4)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.答案：B二、填空题7．若y＝(a－1)x2－2ax＋3为偶函数，则在(－∞，3]内函数的单调区间为________．解析：a＝0，y＝－x2＋3结合二次函数的单调性知．答案：(－∞，0)上为增函数，在[0,3]上为减函数．8．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx的奇偶性是________．解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴b＝0，g(x)＝ax3＋cx，即为奇函数．答案：奇函数9．设定义在R

12、上的函数f(x)恒大于0，则下列函数：①y＝－f(x)f(－x)，②y＝xf(x2)，③y＝－f(－x)，④y＝f(x)－f(－x)中必为奇函数的有________．(要求填写正确答案的序号)解析：令g(x)＝－f(x)f(－x)，则g(－x)＝－f(－x)f(x)＝g(x)，∴y＝－f(x)f(－x)为偶函数；令g(x)＝xf(x2)，则g(－x)＝(－x)f[(－x)2]＝－xf(x2)＝－g(x)，∴y＝xf(x2)为奇函数．令g(x)＝－f(－x)，则g(－x)＝－f(x)与g(x)＝－f(－x)不一定有关

13、系，∴y＝－f(－x)不一定是奇函数．令g(x)＝f(x)－f(－x)，则g(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－g(x)，∴y＝f(x)－f(－x)为奇函数．答案：②④三、解答题10．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x

14、x－2

15、，求x<0时，f(x)的表达式．解：∵x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)

16、(－x)－2

17、.又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－(－x)

18、(－x)－2

19、＝x

20、x＋2

21、.故当x<0时，f(x)＝x

22、x＋2

23、.11．已知函数f(x)对一切

24、x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．解：(1)由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(2)∵f(x)为奇