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1、§1隐函数返回四、隐函数求导数举例一、隐函数概念二、隐函数存在性条件分析三、隐函数定理方程式所确定的函数,通常称为隐函数．例如：一、隐函数概念显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示的函数称为显函数．例如：隐函数：自变量与因变量之间的关系是由某一个隐函数一般定义：则成立恒等式有惟一确定的与之对应,能使且满足方程(1),则称由方程(1)确定了一个定义在,值域含于的隐函数.如果把此隐函数记为取值范围．例如由方程 可确定如下两个函数：注2不是任一方程 都能确定隐函数,例如 显然不能确定任何隐函数．注1隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要化为显函数．上面
2、把隐函数仍记为，这与它能否用显函数表示无关．注3隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的在§2还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题.注4类似地可定义多元隐函数．例如:由方程确定的隐函数由方程确定的隐函数等等.二、隐函数存在性条件分析条件时，由方程(1)能确定隐函数,并使要讨论的问题是：当函数 满足怎样一些该隐函数具有连续、可微等良好性质?(a)把上述 看作曲面与坐标平面 的交线，故至少要求该交集非空，即，满足连续是合理的．(b)为使在连续，故要求在点由此可见， 是一个重要条件．点存在切线，而此切线是曲面在点的切平面与 的交线，故应要求在(c)为使在可导，
3、即曲线 在点 可微，且(d)在以上条件下，通过复合求导数,由(1)得到三、隐函数定理定理18.1(隐函数存在惟一性定理)设方程(1)中的函数 满足以下四个条件：(i)在以 为内点的某区域上连续；(ii)(初始条件)；(iii)在内存在连续的偏导数 ；(iv)则有如下结论成立：在上连续．惟一地确定了一个隐函数它满足：,且当时,使得证首先证明隐函数的存在与惟一性．证明过程归结起来有以下四个步骤(见图18－1)：存在某邻域 ，在内由方程(1)(c)同号两边伸＋＋＋＋－－－－(d)利用介值性＋＋＋＋－－－－(b)正、负上下分＋＋＋___+_0(a)一点正,一片正+++
4、+++++++++++++++++++++++++++++++++++++图18－1(a)“一点正,一片正”由条件(iv),不妨设因为连续，所以根据保号性，使得(a)一点正,一片正++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++(b)正、负上下分＋＋＋___+_0(b)“正、负上下分”因故把看作的函数，它在上严格增，且连续(据条件(i))．特别对于函数由条因为关于连续，故由(b)的结论，根据保号性， 使得(c)同号两边伸＋＋＋＋－－－－(c)“同号两边伸”(d)“利用介值性”因关于 连续,且严格增，故由(c)的结论，依据介值性定理,存
5、在惟(d)利用介值性＋＋＋＋－－－－满足一的就证得存在惟一的隐函数:由 的任意性,这若记则定理结论 得证．下面再来证明上述隐函数的连续性:欲证上述 在 连续.类似于前面(c)，使得由 对严格增，而推知＋＋＋＋－－－－..图18－2足够小，使得如图18－2所示,取在上处处连续．因此 在 连续.由 的任意性,便证得且当 时，有类似于前面(d)，由于隐函数惟一，故有注1定理18.1的条件(i)～(iv)既是充分条件,又是一组十分重要的条件.例如：在点虽不满足条件(iv)，但仍能确定惟一的隐函数②(双纽线),在点 同样不满足条件(iv);如图18－3所示,在该点
6、无论多图18－3么小的邻域内,确实用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验，的作用．二则是在后面的定理18.2中它们还将起到实质性注3读者必须注意,定理18.1是一个局部性的隐函数存在定理．例如从以上双纽线图形看出:除了三点以外,曲线上其余各点处都注2条件(iii)、(iv)在证明中只是用来保证在邻域内 关于 为严格单调．之所以采不能确定惟一的隐函数.存在局部隐函数(这不难用定理18.1加以检验，见后面第四段的例１)．注4在方程 中,与的地位是平等的.当条件(iii)、(iv)改为时，将存在局部的连续隐函数连续,且“”定理18.2(隐函数可微性定理)设函数 满足定理18
7、.1中的条件(i)～(iv),在内还存在连续的.则由方程所确定的隐函数在I内有连续的导函数，且(注:其中示于定理18.1的证明(d)).使用微分中值定理,使得证设 则由条件易知F可微，并有显然 也是连续函数．因 都是连续函数,故 时并有(3)注1当 存在二阶连续偏导数时，所得隐函数也二阶可导．应用两次复合求导法，得将(2)式代入上式，经整理后得到注2利用公式(2),(3)求隐函数的极值:(a)求使的点,即的解．(b)在点 处因 ，而使(3)式化简为(4)(c)由极值判别法
