数学分析 第十七章 课件 隐函数存在性定理

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1、第十七章隐函数存在定理前面关于隐函数（组）的微分法都假定：隐函数存在，且它们的导数或偏导数也存在。本章：存在性问题及连续性、可微性。§1单个方程的情况曲面与面的交线唯一确定隐函数曲面必须与相交（1）连续（1）连续曲线存在,使（2）可微（2）存在切线交线曲面在点有切平面且切平面的法线不平行于轴（即切平面不是平面）切平面的法向量为与不共线（即不能同时为零）交线存在切线，意味着一元函数的可微性，也要求定理17.1：设满足下列条件：在D：，上连续（3）（1）（2）则使得在点的某一邻域内，方程唯一地确定一个定义在区间内的隐函数，定义在内满足,且（2）在上连续在有连续的导数，且（3）（

2、1）存在条件（1）在D连续条件（3）不妨设对每个关于严格单调上升,特别固定严格单调上升又，所以要证（1）：有任意使在D（不妨设），证明：取故对任意，关于连续且唯一则：（1）存在使得在点的某一邻域内，方程唯一地确定一个定义在区间内的隐函数，定义在内满足且（2）在上连续(证明略)在有连续的导数，且（3）(证明略)可将条件（3）改为，结论应改为？例1．方程能否在原点的某邻域内确定隐函数或？解：令则，他们都在全平面上连续，而故方程在点的邻域内可唯一地确定可微的隐函数它定义在，使得，但由于，据此无法断定是否在点的某邻域内存在。，，。有隐函数例2．。由知,当，确定可微的隐函数上任何在这

3、个邻域内可唯一定理17.2满足下列条件：，（ii）；(iii)则（i）偏导数设函数.存在的一个邻域，使得在点的某邻域内，方程唯一地确定了一个定义在的元隐函数，满足。换句话说，存在函数，使得当时；且；（2）内连续；内有连续的偏导数，且，.（3）例3设,问方程是否在原点地确定可微函数，其中属于某个领域，使得.如可能，求的某邻域唯一点的解：令.显然的偏导数，且,由，知，存在，使得在有唯一的可微函数，满足：在全平面有连续，.且第2节方程组的情况问题：由能否唯一确定定理17.3的某个领域元有一阶连续偏导数；（初始条件）；则(ii)(i)在点(iii)设函数满足：内F，G对各变.(1)

4、在点的某个邻域内，方程组唯一地确定一组函数，它们定义在的某邻域D内，当满足，，且；(1)，(2)(3)，且，注：条件(iii)在定理中的地位和作用与定理17.1中的条件的地位和作用相当，它对于隐函数组的存在性、连续性和可微性都是重要的。另外，结论(3)中公式的推导方法就是我们在第十六章第2节中介绍的隐函数组求导法，因此公式不必死2记硬背，重要的是掌握求导方法。例1.设有方程组讨论在的某邻域能否确定隐函数组.又问在点的某邻域能否确定函对确定的函数组求其偏导数。数组解:显然F，G在全平面上有连续的偏导数。又，，，因此在，但在点的附近难言是否可唯一确定.求函数点的某邻域方程组可以

5、唯一地确定一组可微函数函数组和数，在方程组两边对的偏导求偏导数，得:.在方程组两边对求偏导数得:,解得定理17.4设函数组(6)满足：的某邻域D内对有连续偏导数；，(iii).,解得:(i)在(ii)；则在的某邻域内存在唯一的一组反函数使得，，且当(1)有，.，，其中.推论1在定理17.4的条件下有例2.极坐标与直角坐标的变换为因为所以除即坐标原点，外，变换的逆变换存在，即有内容小结隐函数存在性定理隐函数的连续性隐函数的可微性隐函数的求导方法习题1、设函数在点(u,v)的某一邻域内有连续的偏导数,且在与点(u,v)对应的点唯一确定一组单值、连续且具有证明:函数组(x,y)的

6、某一邻域内连续偏导数的反函数解:,则有由定理可知结论成立①式两边对x求导,得2)求反函数的偏导数.①②从方程组②解得同理,①式两边对y求导,可得2、验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解:令则①连续；②③由定理可知,在x=0的某邻域内方程存在单值可导的隐函数３、试讨论方程组在点的附近能否确定形如的隐函数．４、求下列函数组的反函数组的偏导数；补充题分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.设解:两个隐函数方程两边对x求导,得(2001考研)解得因此2.设是由方程和所确定的函数,求解法1分别在各方程两端对x求导,得(99考研)作业P231页，2，3，5P

7、239页，3，6，7，8，11