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1、四川师范大学本科毕业论文方程F(x,沪0在％处的隐函数存在性讨论学生姓名m院系名称数学与软件科学学院专业名称数学与应用数学班级2008级1班学号2008060133指导教师李俐玫完成时间2012年3月30日方程FC兀0=0在乙处的隐函数存在性讨论学生姓名：孙延指导老师：李俐玫内容提要：本文对二元方程F(x,㈠二〃在《处隐函数的存在性进行了讨论.扩大了隐函数定理，并用隐函数单调性定理来判断另一隐函数的存在性;还分析了当隐函数不存在时右端函数尸"，刀的特点•增加了一些判断二元方程F(x,y)=0在《处的隐函数是否存在的
2、方法.关键^1：隐函数单调性存在性不存在性二元方程ExistencediscussionoftheimplicitfunctiondeterminedbytheequationF(xfy)=0atthepointPoStudent:YanSunAcademicadvisor:LimeiLiAbstract:ThispaperdiscussedtheexisteneeofimplicitfunctiondeterminedbytheequationF(x,y丿=0atthepointp0,whichpromotedt
3、heimplicitfunctiontheorem,andthroughtheimplicitfunctionmonotonicitytheoremtojudgetheexisteneeofanotherimplicitfunction.AndweanalyzedthecharacteristicsofthefunctionF(x,y)=0whenitsimplicitfunctiondoesnotexist.Allofthisincreasedsomemethodstojudgetheexisteneeofimp
4、licitfunction.Keywords:Implicitfunction,Monotonicity,Existence,Nonexistenee,Binaryequation目录1弓丨言2隐函数存在性分析-3-2.1隐函数定理及其扩大-3-2.1.1隐函数定理-3-2.1.2隐函数定理的扩大-5-2.1.3一个例子-6-2.2隐函数定理的两个推论-6-2.3单点隐函数-8-2.4隐函数的单调性及其应用-9-2.4.1隐函数单调性定理-9-2.4.2利用隐函数的单调性判断隐函数存在性-10-2.4.3一个例子-
5、12-3隐函数不存在性分析123.1初值条件不满足-13-3.2函数定义不满足-13-3.2.1型-13-3.2.2“横U”型-14-3.2.3一个例子-16-4结论18致谢一205创新与不足19参考文献方程F(x,y)=O在Po处的隐函数存在性讨论1引言二元方程F(x,y)K)在坊处的隐函数是否存在的讨论在数学中具有重要意义,是隐函数关于某变量可微的前提.由此得出的隐函数定理是常微分方程、多元函数微分学等学科的基础定理•但是，一方面隐函数定理仅仅只是判断隐函数是否存在的充分性定理，一些学者在寻找判断隐函数存在的充
6、分必要性定理上做出了努力(如文献［5］),但结果均晦涩难懂，直接限制了初学者对定理的理解和应用;另一方面，隐函数定理的条件过于狭窄，不具有广泛的适用性.本文将绕过寻找判断隐函数存在的充分必要性定理，从隐函数存在与不存在两方面进行分析，得出一些判断隐函数存在与不存在的方法,使之能解决绝大多数隐函数是否存在的问题.2隐函数存在性分析判断二元方程F(x,y)=O在几处的隐函数是否存在使用最多的办法莫过于利用隐函数定理，但是隐函数定理的条件仅是判断隐函数存在的充分性条件，适用范围不够广泛.下文对隐函数的存在性的分析以隐函数
7、定理出发，试着扩充判断隐函数存在的方法.2.1隐函数定理及其扩大2.1.1隐函数定理现将隐函数定理叙述(定理采用文献［1］的格式叙述)如下，同时给出了定理的一个新的证明.定理2.1：(隐函数定理)若方程F{x.y)=0的右端函数F(x,y)满足以下条件：(i)函数F在以晒,y°)为内点的某一区域DUR?上连续；(ii)"兀,％丿=()(初始条件)；(iii)在D内存在连续的偏导数Fx(xfy).Fy(xfy);(iv)Fv(Xo，%丿工°，则在点人的某邻域U(R)uD内，方程F(x,y)=0唯一地确定了一个定义在某
8、区间(xo—cc,xo+cc)内的函数(隐函数)y=f(x),使得(1)f()=y(),xe(x0-afx0+a)时Cg/CQ)e.U(P0)且兀丿)=0⑵f(兀丿在(x0~afx0+a)内连续;(3)心-害.Fy(x,y)证：先证明存在性：若F(x,y)=0在(x0~afx0+a)内能确定的连续隐函数y=f(xf则有F(x,yU))=O,方程两边对x求导
