隐函数的存在性.doc

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1、第十一章隐函数§5.3已给出隐函数的概念和隐函数的求导法则.本章将在一个二元方程所确定的隐函数的基础上，进一步推广到方程组所确定的隐函数，并证明隐函数的存在性、连续性、可微性.讨论方程组所确定的隐函数要用到多元函数微分学中的一个重要工具——函数行列式.我们将给出函数行列式的性质及其简单的应用.§11.1隐函数的存在性一、隐函数的概念在§5.3中，已经给出有二元方程所确定的隐函数.例1二元方程.，通过方程对应唯一一个，即.显然，有由隐函数定义，是方程所确定的隐函数.它的几何意义是，平面曲线是空间曲面与（平面）的单值交线.例

2、2二元方程,,通过方程对应两个.如果限定的变化范围或，则只对应唯一一个，即或.显然有与由隐函数定义，与都是方程所确定的隐函数.它的几何意义是，平面曲线与（以原点为圆心，以为半径的上半圆与下半圆）是空间曲面（旋转抛物面）与平面的两条单值交线.例3二元方程,在原点的某个邻域内，，通过方程对应唯一一个，即（下面例6将证明这个事实）.显然，有.由隐函数的定义，是方程所确定的隐函数.它的几何意义是，空间曲面与平面在原点邻域相交成平面单值曲线.例4二元方程.，通过方程不存在对应的，即方程不确定隐函数.它的几何意义是，空间曲线（旋转抛

3、物面）与平面不相交.上述四例说明，一个方程可能确定一个隐函数，如例1，2，3也可能不确定隐函数，如例4.一个方程可能确定一个隐函数，如例1，也可能确定两个（或多个）隐函数，如例2.一个方程确定的隐函数可能是初等函数，如例1，2，也可能不是初等函数，如例3，（因为超越方程不能用代数方程求解）.值得注意的是例3这种情况，它说明隐函数包含着非初等函数.从而给出了表示函数的新方法，扩大了研究函数的范围.关于两个变量与的二元方程确定隐函数，可类似地推广到个变量的方程.若存在点的邻域,，通过上面方程对应唯一一个,设，有，则称元函数是

4、有方程所确定的隐函数.例5三元方程.，通过方程对应唯一一个，即.显然，有.由隐函数定义，是方程所确定的（二元）隐函数.隐函数还有更一般的情况：若干个方程构成的方程组所确定的隐函数（组）.例如，三个变量两个方程构成的不定方程组，通过方程组对应唯一一对与，即与.显然，有一般情况，个变量个方程构成的不定方程组：（1）若存在个函数（2）满足方程组（1），即则称函数组（2）（共个函数）是方程组（1）所确定的隐函数组.二、一个方程确定的隐函数定义个二元方程，等号左端的二元函数满足什么条件，方程才存在（有连续导数的）隐函数呢？它的几何

5、意义就是，满足什么条件曲面与平面交成一条（光滑的单值的）曲线呢？很明显，至少应当假设曲面与平面有一个交点，即，并且在点的某个邻域两个偏导数与连续.为了使曲面与平面不仅相交于一点，还要交成一条单值曲线，这只要增加条件就行.事实上，由连续函数的保号性，在点的某邻域，保号，这表明将看作变量的一元函数时是严格单调的，又，所以当充分小时，与具有相反的符号，即曲面穿过平面，再应用连续函数的保号性，关于变量的单调性和根的存在性，就可以证明曲面与平面交成一条光滑的单值曲线.有下面隐函数存在定理：定理1若二元函数在以为中心的矩形区域（边界

6、平行坐标轴）满足下列条件：1）与在连续（从而在连续）；2）；3）.则ⅰ）与，存在唯一一个（隐函数），使，且.ⅱ)在区间连续.ⅲ）在区间有连续导数，且证明ⅰ）隐函数的存在性.由条件3），不妨假设再由条件1），函数在点连续.根据§10.2定理4（连续函数的保号性），存在以点为中心的闭矩形区域而,,有（3）特别地，当时，有，.根据§6.4定理2，一元函数在闭区间严格增加.由条件2），，有与.(4)再考虑下面两个一元函数，.这两个函数在连续，且有不等式（4），根据§3.2定理3（局部保号性），，，有与（5）（5）式的几何意义是，

7、如图11.1，曲面在线段上的图像在平面之下，在线段上的图像在平面之上.下面证明，曲面与平面相交，其单值交线就是将要证明的在区间的隐函数.令，，由（3）式，有，，即一元函数在区间严格增加.由（5）式，有与.根据§3.2定理6（介值性），在区间存在唯一一点使（6）由（6）式，，存在唯一一个使，即于是，是的函数：.，有与已知与.因为在内与对应且满足方程的是唯一的，所以.ⅱ）（隐）函数在区间连续.只需证明，，函数在连续.已知与在闭矩形域连续，且则在有上界，在有非零下界，即与，，有与给自变量改变量，使，相应地有函数的改变量，即或，

8、且（.已知与.根据§10.3的引理，有（7）其中，.将（7）式改写为有=于是，即（隐）函数在连续，从而在连续.ⅲ）（隐）函数在区间有连续导数.，由（7）式，有，，已知在连续，从而当时，有，又已知与在连续，有.即（隐）函数在区间有连续的导数，且注为使证明的层次分明，定理1的结论分成三个部分，实际上，这三个部分可以合并，