2019-2020年高考数学总复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

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1、2019-2020年高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲　1.理解命题的概念；2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．知识梳理1．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系．2．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q

2、的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示(1)“x2＋2x－8＜0”是命题．(×)(2)一个命题非真即假．(√)(3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．(×)(4)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分条件．(×)(5)给定两个命题p，q.若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件．(√)2．命题“若α＝，则tan

3、α＝1”的逆否命题是(　　)A．若α≠，则tanα≠1B．若α＝，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α＝解析　命题的条件是p：α＝，结论是q：tanα＝1.由命题的四种形式，可知命题“若p，则q”的逆否命题是“若¬q，则¬p”，显然¬q：tanα≠1，¬p：α≠，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”．答案　C3．(xx·福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

4、解析　a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.所以A正确．答案　A4．(xx·浙江卷)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析　因为菱形的对角线互相垂直，所以“四边形ABCD为菱形”⇒“AC⊥BD”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件；又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形，所以“AC⊥BD”“四边形ABCD为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”不是“

5、AC⊥BD”的必要条件．综上，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．答案　A5．(人教A选修1－1P10练习4改编)下列命题：①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分条件；②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；③sinα＝sinβ是α＝β的充要条件；④ab≠0是a≠0的充分不必要条件．其中为真命题的是__________(填序号)．答案　②④考点一　四种命题及其相互关系【例1】(xx·陕西卷)原命题为“若＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假

6、性的判断依次如下，正确的是(　　)A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析　从原命题的真假入手，由于＜an⇔an＋1＜an⇔{an}为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与其逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，则其逆命题、否命题和逆否命题均为真命题．答案　A规律方法　(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键．(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(3)判断一个命题为假命题可举反

7、例．【训练1】已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(　　)A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题解析　由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(

8、x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．答案　D考点二　充分、必要条件的判定与探求【例2】(1)(xx·新课标全国Ⅱ卷)函数f(x)在x＝