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时间:2019-11-10
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1、2019-2020年高三上学期第五次周考(理)数学试题含答案一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则是()A.B.C.D.2.设复数(为虚数单位),的共轭复数为,则等于()A.B.C.D.4.奇函数的定义域为,若为偶函数,则()A.-2B.-1C.0D.15.已知二次函数的两个零点分别在与内,则的取值范围是()A.B.C.D.6.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是()A.B.C.D.7.如图给出的是计算的值的程序框图,其中判断框内应
2、填入()A.B.C.D.8.已知的最大值为,若存在实数,使得对任意实数总有成立,则的最小值为()A.B.C.D.9.抛物线的焦点为,已知点为抛物线上的两个动点,且满足,过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值为()A.B.1C.D.210.如图,正方体的棱长为,以顶点为球心,2为半径作一个球,则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于()A.B.C.D.11.已知定义的上的函数满足且在上是增函数,不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是()A.B.C.D.12.定义在上的函数满足,且对任意都有,则不等式的解集
3、为()A.B.C.D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.曲线在点处的切线方程的一般形式为.14.数列中,且(是正整数),则数列的通项公式.15.已知非零向量满足,向量与的夹角为,且,则下列与的夹角为.(用弧度制表示)16.已知函数,下列关于函数(其中为常数)的叙述中:①对,函数至少有一个零点;②当时,函数有两个不同零点;③,使得函数有三个不同零点;④函数有四个不同零点的充要条件是.其中真命题有.(把你认为的真命题的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
4、骤.)17.(本小题满分12分)已知分别为三个内角的对边,.(1)求的大小;(2)若,求的周长的取值范围.18.(本小题满分12分)甲、乙两位同学从共所高校中,任选两所参加自主招生考试(并且只能选两所高校),但同学特别喜欢高校,他除选高校外,再在余下的所中随机选1所;同学乙对所高校没有偏爱,在所高校中随机选2所.若甲同学未选中高校且乙选中高校的概率为.(1)求自主招生的高校数;(2)记为甲、乙两名同学中未参加高校自主招生考试的人数,求的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面,,是
5、的中点,作交于点.(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知分别为椭圆的上、下焦点,是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点,且.(1)求椭圆的方程;(2)与圆相切的直线交椭圆于,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数,,其中为实数.(1)求函数的单调区间;(2)若函数对定义域内的任意恒成立,求实数的取值范围;(3)证明:,对于任意的正整数成立.请考生在22、23中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已
6、知曲线(为参数),(为参数).(1)化的方程为普通方程;(2)若上的点对应的参数为,为上的动点,求中点到直线(为参数)距离的最小值.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数.(1)解不等式;(2)设函数,且在上恒成立,求实数的取值范围.参考答案DCACDBBAAABD13.14.15.16.②④17.(1)由正弦定理得:(2)由已知:由余弦定理(当且仅当时等号成立),∴,又,∴,从而的周长的取值范围是.17.解:(1)由已知得,甲同学选中高校的概率为,.整理得,,∵,解得,故自主招生的高校数为5所.(2)的所有
7、可能取值为0,1,2,,,则的分布列为:X012P∴的数学期望.19.建立空间直角坐标系,点为坐标原点,设.(1)证明:连结,交于点,连结,依题意得,因为底面是正方形,所有点是此正方形的中心,故点的坐标为,且,.所以,即,而平面,且平面,因此平面.(2),又,故,所以.由已知,且,所以平面.所以平面的一个法向量为,,,不妨设平面的法向量为,则,不妨取,则,即,设求二面角的平面角为,,因为,所以,二面角的正弦值大小为.20.(1)由题意,所以,又由抛物线定义可知,得,于是易知,从而,由椭圆定义知,,得,故,从而椭圆的方程为.(
8、2)设,则由知,,,且①又直线与圆相切,所以有,由,可得②又联立,消去得且恒成立,且,,所以,所以得,代入①式得,所以,又将②式代入得,,,易知,且,所以,所以的取值范围为.21.(1)因为当时,令得;得,此时,函数的增区间是,减区间是当时,令得或;得,此时,函数的增区间是和,减区间是当时
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