利用数形结合思想解应用题初探 (李长斌)

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1、3利用数形结合解决数学问题初探陕西省安康职业技术学院北校区李长斌邮编：725000摘要:数形结合是根据数学问题的条件与结论间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙结合并寻找解题途径，使问题得到解决，它包含“以形助数”和“以数辅形”两个侧面。从而把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化。关键词:数形结合解应用题分析总结一、数形结合的历史和形成过程：早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形结合起来了。早在宋元时期，我国古代数学家系统引进了几何问题代数化

2、的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形中的几何关系表达成代数式之间的代数关系，17世纪上半叶，法国数学家笛卡尔通过坐标系建立了数与形之间的联系，创立了解析几何学。后来，几何学中许多长期得不到解决的问题，如尺规作图三大不能问题等，最终借助代数方法得到圆满解决。数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题，实现数形结合的方法通常有：（1）实数与数轴上点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义

3、，如等式。数形结合的关键是“以形助数”和“以数辅形”两者巧妙的结合。解近似值时，却无法得到答案。这时我们就要想到数形结合。上面的题看起来不好下手，但有了函数图像，一切问题都解决了。我们要善于总结、分析那一类问题用什么解法最好。33解:根据题意，可知这是一个二次函数，图象是抛物线，对称轴是X=-1，且该抛物线开口向上。X的取值不是任意实数，而是一个区间。这是条件二次函数求最值，图象上最高点的纵坐标是最大值，最低点的纵坐标是最小值，因而准确作图，利用图形的直观性，巧妙的数形结合是解题的键。如图，显然图象的最高点的坐标是（，），最低点的坐标是（-1，-4）。当x=-

4、1时，函数y有最小值-4；当x=时，y有最大值。例4.K取什么实数时，方程-2∣x∣+3=K有四个互不相等的实数根？下面我们来用数形结合解这道题：构造两个函数，并作出当x≥0和x＜0时的图象。如图：由于原方程有四个根，其几何意义为两函数的图象有四个交点,所以k的范围是：2

5、cosz＜∵单位圆的面积为，且x，y，z∈R，0＜x＜y＜z＜∴阴影部分的面积为sinx(cosx-cosy)+siny(cosy-cosz)+sinzcosz单位圆的面积为。∴sinx+siny+sinz<+2sinxcosy+sinycosz对这类不等式问题，用数转形的方法，就能很直观地探索出不等式的几何意义，运用几何图形解决代数问题。例6．方程︱x-1︱-︱y-1︱=1确定的曲线围成的图形面积是多少?解:(1)∵当x≦1,y≦1时有:　　　　　(2)当x≦1,y≥1时有:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　-(x-1)+(y-1)=1-(x-1)

6、-(y-1)=1∴y=x+1　　y=-x+1(3)当x≥1,y≥1时有:(4)当x≥1,y≦1时有:x-1-（y-1）=1　x-1+(y-1)=1y=x-1　　y=-x+333如图，所求图形面积就是小正方形的面积，为：＝２由x的取值范围脱掉绝对值符号，把方程转化为函数，利用图象可看出所求图形的形状是正方形。这类问题离开了数形结合，真是难以入手。要会数形结合，见数思形，使问题得以解决。三、对数形结合的总结:总之，数形结合解题灵活巧妙，其思想方法应用广泛，常见的有：方程和不等式问题中；求函数的值域、最值问题中；复数和三角函数运算与证明中。运用数形结合的方法，直观且

7、易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。但我们在数形结合时，要注意几个问题:1、要彻底明白一些概念和运算的几何意义，以及曲线与方程的对应关系。2、通过坐标系做好“数”与“形”之间的相互转化。3、要正确确定变量的取值范围。华罗庚先生曾说过:“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。”这句话经典地概括了数与形的关系和数形不分家的真谛。可见，它的作用不可低估。我们要在以后的教学中，培养学生多思考并善于用数形结合的思想来解决问题。这样，才能很好地开发学生的数学思维，为学生架起沟通代数与几何的桥梁。参考文献：[1]高等数学

8、解题方法湖北工商院数学教研室华中理工大