第28课圆的弧长和图形面积的计算

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1、第28课圆的弧长和图形面积的计算基础知识，自主学习1．弧长及扇形的面积：(1)半径为r，n°的圆心角所对的弧长公式：____________________(2)半径为r，n°的圆心角所对的扇形面积公式：______________________l＝S＝＝lr要点梳理2．圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr.(1)圆锥侧面积公式：S圆锥侧＝________(2)圆锥全面积公式：S圆锥全＝________(3)圆锥侧面展开图扇形圆心角公式：θ＝_

2、_______πrlπrl＋πr2·360°3．求阴影部分面积的几种常见方法：(1)公式法(2)割补法(3)拼凑法(4)等积变形构造方程法(5)去重法基础自测1．(2010·湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于()A．6πB．9πC．12πD．15π解：圆锥的侧面积S＝πrl＝π×3×5＝15π，应选D.D2．(2010·通化)已知，圆锥的母线长为5cm，高线长是3cm，则圆锥的底面积是()A．3πcm2B．9πcm2C．16πcm2D．25π

3、cm2解：根据r2＋h2＝l2，得r＝＝4，所以底面积＝πr2＝16π，应选C.C3．(2010·丽水)小刚用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略不计)，如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这扇形纸板的面积是()A．120πcm2B．240πcm2C．260πcm2D．480πcm2解：S圆锥侧＝πrl＝π×24×10＝240π，应选B.B4．(2010·舟山)如图是一个高为2cm，底面半径为2cm的圆锥形无底纸帽，现利用这个纸帽的侧面纸张裁剪出一个圆形纸片(不考虑纸帽接缝)，这个圆形纸

4、片的半径最长可以是()(计算结果保留3个有效数字．参考数据≈1.414，≈1.732)．A．3.12cmB．3.28cmC．3.31cmD．3.00cmC解：可求得圆锥的母线长为8cm，其侧面展开图圆心角等于×360°＝90°，设圆形纸片的半径为r，如图，有8－r＝r，r＝≈3.315．(2010·黄石)如图，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形ABC，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为()A.B.C.D.解：连OA、OB，画OD⊥AB于D，在Rt△AOD中，∠OAB＝30°，OA＝1，∴OD＝，AD＝，

5、AB＝2AD＝，又·360°＝60°，所以r＝l＝×＝，应选B.B题型分类深度剖析题型一　弧长公式的应用例1：如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O＝60°，OA＝1.求O点所运动的路径长．解：点O运动路径第一段弧长＝π；第二段路径的弧长为＝π；第三段路径的弧长为＝π.即点O所运动的路径长为π＋π＋π＝π.探究提高：本题中所求点O经过的路线是由三条不同的弧组合而成的，在求每段弧长时，要注意确定每段弧的半径及所对圆心角的度数．知能迁移1：已知矩形ABCD的长AB＝4，宽AD＝3，按如图放置在直线AP上，然后不滑动

6、地转动，当它转动一周时(A→A′)，顶点A所经过的路线长等于________．解：π(3＋4＋5)＝6π6π题型二　扇形面积公式的运用例2：如图，BD是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果BO＝65cm，DO＝15cm，当BD绕点O旋转90°时，求刮雨刷BD扫过的面积．解：阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路，一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补．此题可利用图形的割补，把图形△OAC放到△OBD的位置(因为△AOC≌△BOD)，则阴影部分的面积为扇环的面积；S阴影＝S扇AOB－S扇COD＝π(OA2－O

7、C2)＝π×(652－152)＝1000π.答：刮雨刷BD扫过的面积是1000π(cm2)．探究提高：扇形面积公式和弧长公式容易混淆．S扇形＝πR2＝lR.知能迁移2：如图，半圆的直径AB＝10，P为AB上一点，点C、D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于__________．(结果用π表示)．解：连CD、OC、OD，BC∵＝＝＝60°∴∠ABC＝∠BCD＝30°∴CD∥AB∴S△PCD＝S△OCD∴S阴影＝S△PCD＋S弓形＝S△OCD＋S弓形＝S扇形COD＝π×52＝π题型三　圆锥例3：(本题6分)如图，如果从半径为9cm的圆形纸

8、片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接鏠处不叠合)，求这个圆锥的高．〉〉解题示范——规范步骤，该得的分一分不丢！解法一：∵θ＝×360°＝×360°∴r＝6[3分]又h2＋r2＝l2∴h＝＝3[