ch1 随机事件与概率

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1、《概率论与数理统计》（上海理工大学，主编叶慈南，刘锡平；副主编曹伟丽，范洪福，樊亚莉；科学出版社2009年1月出版）配套教辅书：《概率论与数理统计学习指导》（上海理工大学工程数学教研室编，科学出版社2010年9月出版）第1章随机事件与概率(宋)苏轼著名诗句：“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全”．这说明人类早就对随机现象的存在有着切身体会．1.1随机事件一．随机试验：抛一枚硬币，观察正面H(有字面)、反面T出现的情况；：将一枚硬币抛两次，观察正、反面出现的情况；：记录一天内经过校门口的汽车数；：记录上

2、海地区一昼夜的最高气温()．两个特性：．可在相同的条件下重复地进行；．每次试验的结果不止一个，但能事先明确所有可能出现的试验结果；试验之前不能确定哪个结果会出现．随机试验：具有以上两个特性的试验．二．样本空间与随机事件样本空间：随机试验E的所有可能出现的结果的全体，记为．例：；　　　　　　　　　　　　　；；　　　．(随机)事件：在一次试验E中可能出现也可能不出现的事情，或者样本空间的可测子集，记作．基本事件：随机试验中每一个可能出现的结果．记．例：；　　；　　．　显然，事件是中一些样本点的集合，用等表示，

3、举一二例．三．事件间的关系与运算样本空间，事件．．包含、相等：；．和事件：；．积事件：；．差事件：；．互不相容事件（互斥事件）：；．互逆事件（对立事件）：．例：　则：；；；．摩根规律：．1.2概率的定义与性质一．概率的定义1.概率的古典定义（从“抛硬币”及“掷骰子”谈两个特点）古典概型（等可能概型）：试验E具有特点：(1)；(2)，即每个基本事件发生的概率相等．称E为等可能概型．　由于，故，．　若，则有．例1．试验E：将一枚硬币抛三次．(1)写出；(2)A为“恰有一次出现H”，求；(3)B为“至少有一次出

4、现H”，求．解：(1)，．(2)；(3)．例2．一袋子中装有10球，6白、4红，从袋中取球两次，每次一只，考虑两种情况．(a)放回抽样；(b)不放回抽样．试分别上面两种情况求：(1)取到两球都是白球的概率；(2)取到两球颜色相同的概率；(3)取到两球中至少有一只白球的概率．解：设想将球编号：．A——取到两球都是白球；B——取到两球颜色相同；C——取到两球至少有一只白球．(a)放回抽样．．；　；　．(b)不放回抽样．．；　；　．例3．在中，随机地取一整数，问取到的数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少

5、？解：A——取到的数能被6整除；B——取到的数能被8整除．要求．．由于；　　．AB——取到的数能被24整除，而．．例4．历史上概率论起源于赌博．人们借助于麻将、骰子、扑克牌、纸牌以及形形色色的工具进行赌博，遇到了许多无法解释的问题．17世纪中叶，赌徒中的一些有身份的人开始向数学家Fermat、Pascal、Huygens等人请教，于是产生了概率论的基本概念，并给出了“等可能概型”的一套概率计算方法．（赌博问题）：A——掷一颗骰子，点数；　B——掷两颗骰子，点数和．问哪个事件发生的概率大？；　　　　．例5．

6、（抽签问题）一只袋子中装有a只黑球、b只白球，它们除颜色外无其它区别．现把球随机地一只只摸出来，求第k次摸到黑球的概率．解：将球编号：．　摸出的球排列在一直线上．12ka+b　　总排法．第k个位置排黑球的排法．所求概率．　　（与k无关）另一解法：球不编号，黑球无区别，白球无区别．摸出的球排列在一直线上．总排法；第k个位置排黑球的排法．所求概率．2.几何概率有一种随机试验它们的样本点对应于一个区间或区域上的所有点，其个数是无限的，但发生在每个“大小”相等的区域上的可能性是相等的．这里所说的区域“大小”是指数

7、学上所讲的“度量”．在一维空间指区间的长度、二维空间指区域的面积、三维空间指区域的体积等．定义.设W是一个区域，其度量为．若随机试验的结果落在W内任一度量相等的子区域的可能性是相等的，事件A发生在W内的一个度量为的子区域，则A的概率为．(称为几何概率)例6.某人早晨醒来发现表停了，他打开收音机准备听电台的整点报时，求他等待的时间不超过15分钟的概率．解：可以认为自然醒来的时刻在两次整点报时之间的任一时刻是等可能的．设A——醒来等待的时间不超过15分钟听到整点报时．，，则．3.概率的统计定义频率：设事件A在

8、n次重复试验中出现次，比值叫做事件A在这n次试验中出现的频率．例：抛硬币n次，H出现次，则．分析抛硬币表1.2.1．　　　　　结论：当（确定数）．称为概率的统计定义．频率的性质：试验E，样本空间，，试验n次．(1)非负性：；　　　　　　(2)规范性：；(3)有限可加性：若，则　．(简证之)4．概率的公理化定义从频率概率．　1933年，前苏联人柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)提出三大概率公理．概率定义：试验E，样本空间，对每