高考数学二轮复习专题二第3讲案文

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1、第3讲　平面向量高考定位　1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.真题感悟1.(2017·全国Ⅱ卷)设非零向量a，b满足

2、a＋b

3、＝

4、a－b

5、，则(　　)A.a⊥bB.

6、a

7、＝

8、b

9、C.a∥bD.

10、a

11、>

12、b

13、解析　由

14、a＋b

15、＝

16、a－b

17、两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0，故a⊥b.答案　A2.(2017·

18、全国Ⅰ卷)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________.解析　由题意得a＋b＝(m－1，3)，因为a＋b与a垂直，所以(a＋b)·a＝0，所以－(m－1)＋2×3＝0，解得m＝7.答案　73.(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________.解析　·＝3×2×cos60°＝3，＝＋，则·＝·(λ－)＝·－2＋2＝×3－×32＋×22＝λ－5＝－4，解得λ＝.答案　4.(2017·江苏卷)已知向量a＝(cosx，sinx)

19、，b＝(3，－)，x∈[0，π].(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解　(1)∵a∥b，∴3sinx＝－cosx，∴3sinx＋cosx＝0，即sin＝0.∵0≤x≤π，∴≤x＋≤π，∴x＋＝π，∴x＝.(2)f(x)＝a·b＝3cosx－sinx＝－2sin.∵x∈[0，π]，∴x－∈，∴－≤sin≤1，∴－2≤f(x)≤3，当x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最大值3；当x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值－2.考点整合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a≠0

20、)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.3.平面向量的三个性质(1)若a＝(x，y)，则

21、a

22、＝＝.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

23、A

24、＝.(3)若a＝(x1，y1)

25、，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是＝λ1＋λ2(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量与向量，的关系是＝(＋).(3)三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心⇔＋＋＝0⇔G.热点一　平面向量的有关运算【例1】(1)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且

26、a＋b

27、2＝

28、a

29、2＋

30、b

31、2，则m＝________.(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，A

32、D＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.解析　(1)由

33、a＋b

34、2＝

35、a

36、2＋

37、b

38、2，得a⊥b，所以a·b＝m×1＋1×2＝0，得m＝－2.(2)＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，∵＝λ1＋λ2，∴λ1＝－，λ2＝，因此λ1＋λ2＝.答案　(1)－2　(2)探究提高　对于平面向量的线性运算，首先要选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用.其次运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系.【训练1】(2017·衡阳二模)如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋

39、μ＝(　　)A.2B.C.D.解析　法一　如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，＝，＝，＝(1，1).∵＝λ＋μ＝λ＋μ＝，∴解之得故λ＋μ＝.法二　以，作为基底，∵M，N分别为BC，CD的中点，∴＝＋＝＋，＝＋＝－，因此＝λ＋μ＝＋，又＝＋，因此解得λ＝且μ＝.所以λ＋μ＝.答案　D热点二　平面向量的数量积命题角度1　平面向量数量积的运算【例2－1】(1)(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　)A.I1＜

40、I2＜I3B.I1＜I3＜I2C.I3＜I1＜I2D.I2＜I1＜I3(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为______