高考数学二轮复习专题二第2讲三角恒等变换与案文

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1、第2讲　三角恒等变换与解三角形高考定位　1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真题感悟1.(2017·全国Ⅲ卷)已知sinα－cosα＝，则sin2α＝(　　)A.－B.－C.D.解析　sin2α＝2sinαcosα＝＝－.答案　A2.(2016·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b

2、＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝(　　)A.πB.C.D.解析　因为b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，所以cosA＝＝，则cosA＝sinA.在△ABC中，A＝.答案　C3.(2017·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　)A.B.C.D.解析　由题意得sin(A＋C)＋sinA(sinC－cosC)＝0，∴sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，则sinC(sinA＋cosA)＝sinCsin＝0，因为sinC≠0，所以sin＝0，又因

3、为A∈(0，π)，所以A＋＝π，所以A＝.由正弦定理＝，得＝，则sinC＝，得C＝.答案　B4.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈，tanα＝2，则cos＝________.解析　由tanα＝2得sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝.因为α∈，所以cosα＝，sinα＝.因为cos＝cosαcos＋sinαsin＝×＋×＝.答案　考点整合1.三角函数公式(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.(2)诱导公式：对于“±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.(3)两角和与差的正弦、余弦、正

4、切公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；tan(α±β)＝.(4)二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(5)辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝.2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)正弦定理在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)；变形：a＝2RsinA，sinA＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等.(2)余弦定理在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；变形：b

5、2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.(3)三角形面积公式S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB.热点一　三角恒等变换及应用【例1】(1)(2017·九江一模)已知tanθ＝3，则cos＝(　　)A.－B.－C.D.(2)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α.若

6、BC

7、＝1，则cos2－sin·cos－的值为________.解析　(1)∵tanθ＝3，∴cos＝sin2θ＝＝＝＝.(2)由题意得

8、OC

9、＝

10、OB

11、＝

12、BC

13、＝1，从而△OBC为等边三角形，所以sin∠AOB＝sin＝，又因为cos2－

14、sincos－＝·－－＝－sinα＋cosα＝sin＝.答案　(1)C　(2)探究提高　1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.2.解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角.(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.【训练1】(1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sinα＝，则sinβ＝________.(2)(

15、2017·石家庄质检)若cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0<β<<α<，则α＋β的值为________.解析　(1)α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.∴sinβ＝sin(π－α＋2kπ)＝sinα＝.(2)因为cos(2α－β)＝－且<2α－β<π，所以sin(2α－β)＝.因为sin(α－2β)＝且－<α－2β<，所以cos(α－2β)＝.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－