高考数学二轮复习专题一第3讲不等式案文

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1、第3讲　不等式高考定位　1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大.真题感悟1.(2017·全国Ⅰ卷)设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为(　　)A.0B.1C.2D.3解析　根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数z＝x＋y经过A(3，0)时取得最大值，故zmax＝3＋0＝3.答案　D2.(2016·山东卷)若变量x，y

2、满足则x2＋y2的最大值是(　　)A.4B.9C.10D.12解析　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示：x2＋y2表示区域内点到原点距离的平方，由得A(3，－1).由图形知，(x2＋y2)max＝

3、OA

4、2＝32＋(－1)2＝10.答案　C3.(2017·天津卷)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________.解析　∵a，b∈R，ab>0，∴≥＝4ab＋≥2＝4，当且仅当即时取得等号.答案　44.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________.解析　当x≤

5、0时，f(x)＋f＝(x＋1)＋，原不等式化为2x＋>1，解得－1，该式恒成立，当x>时，f(x)＋f＝2x＋2x－，又x>时，2x＋2x－>2＋20＝1＋>1恒成立，综上可知，不等式的解集为.答案　考点整合1.不等式的解法(1)一元二次不等式的解法.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间.(2)简单分式不等式的解法

6、.①>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0).②≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.(3)指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解.2.几个不等式(1)a2＋b2≥2ab(取等号的条件是当且仅当a＝b).(2)ab≤(a，b∈R).(3)≥≥≥(a>0，b>0).(4)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立).3.利用基本不等式求最值(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2(简记为：积定，和有最小值).(2)如果x>0

7、，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值).4.简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.热点一　不等式的性质及解法【例1】(1)已知函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f(2－x)>0的解集为(　　)A.{x

8、x>2或x<－2}B.{x

9、－2

10、x<0或x>4}D.{x

11、0

12、<4}(2)(2017·江苏卷)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数，若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________.解析　(1)∵f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，∴(－x－2)(－ax＋b)＝(x－2)(ax＋b)，则(2a－b)x＝0恒成立.因此2a－b＝0，即b＝2a，则f(x)＝a(x－2)(x＋2).又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a>0.f(2－x)>0即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4.(2)f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2

13、＝3x2≥0且f′(x)不恒为0，所以f(x)为单调递增函数.又f(－x)＝－x3＋2x＋e－x－ex＝－(x3－2x＋ex－)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，由f(a－1)＋f(2a2)≤0，得f(2a2)≤f(1－a)，∴2a2≤1－a，解之得－1≤a≤，故实数a的取值范围是.答案　(1)C　(2)探究提高　1.解一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集.2.(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化.(2)含参数的

14、不等式的求解，要对参数进行分类讨论.【训练1】(1)若不等式x2－ax＋1≥0对于一切a∈[－2，2]恒成立，则x的取值范围是________.(2)已知不等式≥

15、a2－a

16、对于x∈[2，6]恒成立，则a的取值范围是________.解析　(1)因为a∈[－2，2]，可把原式看作关于a的一次函数，即g(a)＝－xa＋x2＋1≥0，