高考数学二轮复习专题七第2讲不等式选讲案文.docx

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1、第2讲　不等式选讲高考定位　本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.真题感悟1.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝

2、x＋1

3、＋

4、x－1

5、.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a

6、的取值范围.解　(1)当a＝1时，f(x)＝－x2＋x＋4，g(x)＝

7、x＋1

8、＋

9、x－1

10、＝①当x>1时，f(x)≥g(x)⇔－x2＋x＋4≥2x，解之得1

11、1≤a≤1.故a的取值范围是[－1，1].2.(2017·全国Ⅱ卷)已知实数a>0，b>0，且a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.证明　(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)＝2＋，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.考点整合1.绝对值不等式的性质定理1：如果a，b是实数，则

12、a

13、＋b

14、≤

15、a

16、＋

17、b

18、，当且仅当ab≥0时，等号成立.定理2：如果a，b，c是实数，那么

19、a－c

20、≤

21、a－b

22、＋

23、b－c

24、，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.2.

25、ax＋b

26、≤c，

27、ax＋b

28、≥c(c>0)型不等式的解法(1)

29、ax＋b

30、≤c⇔－c≤ax＋b≤c.(2)

31、ax＋b

32、≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.3.

33、x－a

34、＋

35、x－b

36、≥c，

37、x－a

38、＋

39、x－b

40、≤c(c>0)型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解.(2)利用零点分段法求解.(3)构造函数，利用函数的图象求解.

41、4.基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立.定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立.定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立.热点一　绝对值不等式的解法【例1】　(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝

42、x＋1

43、－

44、2x－3

45、.(1)在图中画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式

46、f(x)

47、>1的解集.

48、解　(1)f(x)＝故y＝f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的解析式及图象知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.故f(x)>1的解集为{x

49、1

50、f(x)

51、>1的解集为.探究提高　1.本题利用分段函数的图形的几何直观性，求解不等式，体现了数形结合的思想.2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解.

52、【训练1】　(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝

53、x＋1

54、－2

55、x－a

56、，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为

57、x＋1

58、－2

59、x－1

60、－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－10，解得0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得，f(x)＝所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形

61、的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积S＝

62、AB

63、·(a＋1)＝(a＋1)2.由题设得(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞).热点二　不等式的证明【例2】　(2017·长沙调研)已知f(x)＝

64、2x－1

65、＋x＋的最小值为m.(1)求m的值；(2)已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝m，求证：2(a3＋b3＋c3)≥ab＋bc＋ca