高中数学第四章定积分4.3定积分的简单应用教案

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1、定积分的简单应用一、教学目标：1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2、掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。二、教学重点与难点：1、定积分的概念及几何意义；2、定积分的基本性质及运算在物理中应用。三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：（1）、求曲边梯形的思想方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？（二）、定积分的应用【定积分在物理中应用】1、求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0

2、)在时间区间[a,b]上的定积分，即例1。一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7一3所示．求汽车在这1min行驶的路程．解：由速度一时间曲线可知：因此汽车在这1min行驶的路程是：答：汽车在这1min行驶的路程是1350m.-3-2．变力作功一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs.探究如果物体在变力F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a

3、运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到例2．如图1·7一4，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm处，求克服弹力所作的功．解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F(x）与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比，即F(x）=kx,其中常数k是比例系数．由变力作功公式，得到答：克服弹力所作的功为.例3．A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站B开往站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C点的速度为24m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速

4、度为（24-1.2t）m/s，在B点恰好停车，试求（1）A、C间的距离；（2）B、D间的距离；（3）电车从A站到B站所需的时间。分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即略解：（1）设A到C的时间为t1则1.2t=24,t1=20(s),则AC＝（2）设D到B的时间为t21则24-1.2t2=0,t21=20(s),则DB＝（3）CD=7200-2240=6720(m),则从C到D的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320（s）-3

5、-练习：如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（A）A0.18JB0.26JC0.12JD0.28J略解：设，则由题可得，所以做功就是求定积分。（三）、课堂小结：本节课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面积与体积，即定积分在几何中应用，以及定积分在物理学中的应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。（四）、作业：课本P86页7P95页9、11五、教后反思根据定积分的定义，定积分既有几何背景，又有物理背景，进而定积分与这些知识有着

6、天然的联系。譬如：求几何图形的面积，求路程、平均速度、电荷量、电压、功、质量等。上述种种尽管形式相异，然而所采用的思想方法均是：化曲为直，以不变代变，逼近，从某个角度而言充分展现了数学思想方法的高度抽象性及应用的广。-3-