《4.3 定积分的简单应用》导学案

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1、《4.3定积分的简单应用》导学案课程学习目标1.会根据定积分的几何意义建立求简单平面图形面积的数学模型，并能利用积分公式表进行计算.2.会根据定积分概念形成过程中的基本思想分析求简单旋转体的体积问题，建立它的数学模型，并能利用积分公式表进行计算.3.通过积分方法解决实际问题的过程，体会到微积分把不同背景的问题统一到一起的巨大作用和实用价值.课程导学建议重点:利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单曲边梯形的面积问题和简单旋转体的体积问题.难点:积分的上限、下限、被积函数的确定.第一层级知识记忆与理解知识体系梳理创设情境实际生活中许多变量的变化是非均匀变化的

2、，如非匀速直线运动在某时间段内位移；变力使物体沿直线方向移动某位移区间段内所做的功；非均匀线密度的细棒的质量等.所有这些问题都可以归结为曲边梯形的面积问题.知识导学问题1:当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积S= 　. 问题2:当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积S= 　. 问题3:如图，当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0时，由直线x=a，x=b(a≠b)和曲线y=f(x)，y=g(x)所围成

3、的平面图形的面积S= .问题4:旋转体可以看作是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体，则该旋转体的体积为　V=　. 知识链接微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.定积分是微积分学的重要内容，同时也是科学计算和解决现实问题的重要工具，有着非常广泛的应用.基础学习交流1.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是(　　).A.B.C.D.【解析】根据定积分的几何意义可知D正确.【答案】D2.由y=x2，x=0和y=1所围成的平面

4、图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积可以表示为(　　).A.V=πB.V=πC.V=πD.V=π【解析】由旋转体体积的定积分表示可知B正确.【答案】B3.汽车以v=(3t+2)m/s作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的路程是　　　　m. 【解析】s==(=×4+4-(+2)=10-=(m).【答案】4.求由曲线y=2x2，直线y=-4x-2，直线x=1围成的封闭图形的面积.【解析】联立解得直线与抛物线的交点横坐标为x=-1，由曲线y=2x2，直线y=-4x-2，直线x=1围成的封闭图形的面积为==+2+2+-2+2=.第二层级思维探究与创新重点难

5、点探究探究一求不分割型图形的面积计算由曲线y2=x，y=x2所围成平面图形的面积S.【方法指导】画出草图，求出两抛物线的交点，转化为定积分的计算问题.【解析】由题意画出草图，由得交点的横坐标为x=0及x=1.因此所求图形的面积为S=S曲边梯形OABC—S曲边梯形OABD==-=-=.【小结】求由曲线围成图形面积的一般步骤:(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果.探究二分割型图形面积的求解计算由直线y=x-4，曲线y=以及x轴所围成图形的面积S.【方法

6、指导】作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限.【解析】(法一)作出直线y=x-4，曲线y=的草图.解方程组得直线y=x-4与曲线y=交点的坐标为(8，4)，直线y=x-4与x轴的交点为(4，0)，因此所求图形的面积为S=S1+S2==+=.(法二)把y看成积分变量，则S===.【小结】两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较繁锁，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限.探究三简单旋转几何体的体积计算椭圆+

7、=1所围成的图形绕x轴旋转而成的几何体的体积.【方法指导】求旋转体的体积的步骤:①建立平面直角坐标系；②确定旋转曲线函数f(x)；③确定积分上、下限a，b；④计算体积V=.【解析】这个旋转体可看作是由上半个椭圆y=及x轴所围成的图形绕x轴旋转所生成的几何体.因此V=.【小结】合理的确定被积函数是解题的关键，对于对称性较强的几何体，可以用曲线的一部分绕轴旋转得到.思维拓展应用应用一求由抛物线y=x2-4与直线y=-x+2所围成图形的面积.【解析】由得或[来源:学，科，网]所以直线y=-x+2与抛物线y=x2-4的交点为(-3，5)和(2，0)，设所求图形面积

8、为S，根据图形可得S=.应用二求由曲线y=，y=2-x，y=-x所