九年级数学上册26.3解直角三角形解直角三角形问题的两个数学模型素材

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1、解直角三角形问题的两个数学模型 有一些涉及直角三角形的问题，常常需要通过建立各种数学“模型”来解决，这是一种十分重要的思想方法.现举例说明.　　模型1　如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ADC=60°，∠B=45°，BD=10，求AC的长.说明　此类问题的特征是：具有公共直角的两个直角三角形，并且它们均位于直角边的同侧.　　解法1　在△ADC中，由，即，∴　　解法2　在△ADC中，设CD=x，则.由BC-CD=BD，得，∴，推广1　如图2，小山上有一电视塔CD，由地面上一点A，测得塔顶C的仰角为30°，由A向小山前进100米到B点，

2、又测得塔顶C的仰角为60°，已知CD=20米，求小山高度DE.　　分析　本题可利用模型1，先求得米，　　再求得想一想：①如果在A、B二处均使用了测量仪，且测量仪高为1.2米时，该怎样求山高？②将此问题改为测河宽CD时，在河一侧岸边设观测点A、B、E，并使CE⊥AE，则求解过程是否完全雷同？推广2　如图3，有长为100m的大坝斜坡AB，坡角α=45°，现要改造成坡角β=30°，求伸长的坡度DB的长.　　分析　此题的条件只不过是在模型1中稍加变化而已.　　解　在Rt△ABC中求得又在Rt△ADC中，，∴推广3　如图4，船自西向东航行，在A处测得

3、小岛S在船北偏东60°，船航行10海里到B处，又测得小岛S在船北偏东45°，在小岛S的周围有半径为12海里的暗礁区，如果船不改变航向，继续前进时有无危险，为什么？　　分析　由题设可知　　∠SAB=30°，∠SBD=45°，则可归结为模型1的问题，求得.　　∵SD＞12，∴船不会有危险.　　(另外，此问题还可将AB=10改变为船速v=40海里/小时，船自A行驶15分钟后到达B点.)模型2　如图5，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求AB和BC.　　说明　此类问题的特点是：通过作三角形一条边上的高，可将原来的斜三角形化成两个直

4、角三角形来求解.　　解　作AD⊥BC于D，则(或AD=ACsin45°).　　∴(或)，　　BD=ADcot30°=.　　∴.推广1　如图6，在平地上有二幢楼AB及CD相距60米，在A处测得CD底部的俯角为30°，又测得CD顶部的仰角为45°，求CD的高.　　解　在Rt△ADE中，求得在Rt△ACE中，求得CE=AE=60.　　∴推广2　如图7，厂房屋架为等腰三角形，倾角为30°，跨度AB为15米，求中柱CD和屋面AC的长.　　解　在Rt△ACD中，∠A=30°，，　　∴　　推广3　如图8，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是7

5、米，测得斜坡坡度为1:3.5，求斜坡上相邻两树间的坡面距离.　　解　此问题即在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，tan∠BAC=1:3.5=，求AB.　　由于AC=7，故BC=2，由勾股定理便可求得