无穷小的“阶”与应用

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1、微积分还有一个名称，叫“无穷小分析”。两个无穷小的商求极限，既是典型的未定式计算，又有深刻的理论意义。即“无穷小的比较”。如果商的极限为1，则分子分母为等价无穷小。极限为0，分子是较分母高阶的无穷小。极限为其它实数，分子分母为同阶无穷小。为了考试，要尽可能记住一些常用的等价无穷小。利用Δy~dy（数学一，二用泰勒公式）生成等价无穷小——当f′（x0）≠0时，Δy~dy，在原点计算Δy和dy，得到常用的4个等价无穷小sinx~x；ln（1+x）~x；exp（x）-1~x；√（1+x）-1~x∕2最

2、好再记住1-cosx~x²∕2（exp（x）记以e为底的指数函数）等价无穷小的复合拓展——x→0时，α(x)是无穷小，则sinα(x)~α(x)；ln（1+α(x)）~α(x)，……标准阶无穷小与无穷小的阶——高等微积分中，把x→0（或0+）时，幂函数y=（x的µ次方）称为µ阶无穷小。与它同阶的无穷小，都是µ阶无穷小。于是，常用的1阶无穷小有，x，sinx，tgx，arcsinx，arctgx，exp（x）-1常用的2阶无穷小有1-cosx等价无穷小的差为高阶无穷小——值得记一记的有（常见的三阶

3、无穷小）x−sinx~x³/6x−lnx（1+x）~x²/2，exp（x）-（1+x）~x²/2！，……不同阶的有限个无穷小的线性组合是无穷小。（“多项式型无穷小”。）它与其中最低阶的那个无穷小同阶。比如y=ln（1+x）+1-cosx是1阶无穷小再复杂一点，5x−sinx-cosx+1=4x+（1-cosx）+（x−sinx），是1阶无穷小由于“等价无穷小的差”也可以说成是“无穷小的和”，或“无穷小的线性组合”，所以，“无穷小的和”，或“无穷小的线性组合”，其阶数都是未定式。无穷小的积是高阶无

4、穷小。无穷小（在区间背景下）也是有界变量。所以，“无穷小与有界变量的积”是无穷小，但阶数是未定式。比如，x→0时，x²+3x与x同为1阶。实际上，x²+3x=x（x+3），后因子极限非0但xsin（1/x）的阶数不能确定。在阶的意识下对0/0型未定式作结构分析与调整——例1x→∞，求limxsin（2x/（x²+1））分析x→∞时，2x/（x²+1）是无穷小，sin（2x/（x²+1））~（2x/（x²+1），可替换。例2x→0时，求lim(5x−sinx-cosx+1)/(3x-lnx)分析原

5、极限=lim(4x+1-cosx+x−sinx)/(2x+x-lnx)分子分母都是“多项式型无穷小”。用“化0项法”，分子分母同除以（商式中的）最低阶的无穷小。原极限=2例3x→0时，求lim（1/x²）ln（sinx/x）分析（数三学过幂级数）sinx=x-x³/6+……ln（sinx/x）=ln（1—x²/6+……）~—x²/6，可替换。无穷小怪例——不能确定阶数的无穷小怪例1α=xsin（1/x）和β=x都是无穷小，但是它们的商是震荡因子sin（1/x），没有极限。两个无穷小不能比较。更有

6、意思的是，若γ=x的k次方，则无论k=0.9,还是k=0.99,k=0.999,……，α总是比γ高阶的无穷小。怪例2x→+∞时，lim（x的n次方）∕exp（x）=0即lim（x的n次方）exp（-x）=0这表明：“x趋于+∞时，指数函数exp（x）是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。”或说，x趋于+∞时，exp（-x）是“任意大阶的”无穷小。它能“吞吸”任一有限阶的无穷大。怪例3x→+∞时，limlnx∕（x的δ次方）=0其中，δ是任意取定的一个很小的正数。这表明：x趋于+∞时，“对数函

7、数lnx总是比x的δ次方都还要低阶的无穷大。”或说，1/lnx是“阶数任意小”无穷小。无穷小的阶与级数，广义积分收敛性——判断级数，广义积分收敛性，首先判断绝对收敛性。如果用“无穷小量”的语言来说，则，“级数收敛的必要条件是，n→+∞时，级数的通项是无穷小量。”这个条件不是充分条件。如果我们已经判定正项级数的通项的无穷小阶数为p，则p>1时级数收敛，p≤1时级数发散。“已经判定”是重要前提。请看（并记住）怪例尽管1/nlnn是较1/n高阶的无穷小，但是，通项为1/nlnn的级数也发散.然而，通项

8、为1/n(lnn)²　的级数收敛．你却不能确定其无穷小阶．*若n→+∞时，两个正项级数和的通项是同阶无穷小，则这两个级数或者都收敛，或者都发散。（这是极限形式的比较法的实质。）例∑Un为正项级数，下列结论中正确的是______（A）若n→+∞时，limnUn=0，则∑Un收敛。（B）若∑Un收敛，则n→+∞时，limn²Un=0（C）若存在非零常数λ，使得n→+∞时，limnUn=λ，则级数∑Un发散。（D）若级数∑Un发散，则存在非零常数λ，使得limnUn=λ分析（A）错，条件虽然说明n→+