2017_18版高中数学第1章导数及其应用学案苏教版选修

《2017_18版高中数学第1章导数及其应用学案苏教版选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第1章导数及其应用1　变化率与导数1.变化率函数的平均变化率为＝，它是用来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的量.式中Δx，Δy的值可正、可负，当函数f(x)为常数函数时，Δy的值为0，但Δx不能为0.当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率.例1　甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人在时间段[0，t0]内的平均速度哪个大？解　比较在相同的时间段[0，t0]内，两人速度的平均变化率的大小便知结果.在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，所以<.所以在时间段[0，t0]内乙的平均速度比甲的大.点评　比较两人的平

2、均速度的大小，其实就是比较两人走过的路程相对于时间的变化率的大小.2.导数的概念及其几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即为函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率，即当Δx趋于0时，函数值y关于x的平均变化率＝的极限值；Δx无限趋近于0，是指函数自变量之间的间隔能有多小就有多小，但始终不能为零.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即f′(x0)＝k＝tanα，因此在切线的斜率、切点的横坐标两个量中，只要已知其中一个量，就可以求出另一个量.例2　如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)

3、，(2,0)，(6,4)，则f[f(0)]＝________；14＝________.(用数字作答)解析　由A(0,4)，B(2,0)可得线段AB的方程为f(x)＝－2x＋4(0≤x≤2).同理线段BC的方程为f(x)＝x－2(2

4、(3)解析　根据导数的几何意义，考查函数在点B(2，f(2))及A(3，f(3))处的切线的斜率.由图可见，过点B的切线的斜率大于过点A的切线的斜率，则有0

5、2＋cx在区间(0,1)上是增函数，在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上是减函数，且f′＝，求a，b，c的值.解　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由于f(x)在区间(0,1)上是增函数，在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上是减函数，所以f′(0)＝f′(1)＝0.又f′＝，所以解得点评　由于此题给出了函数定义域范围内的所有单调区间，在这种条件下一般都可以分析出函数的极值点，通常情况下单调区间的端点就是极值点，再根据已知函数极值求解参数问题的方法进行解答.例2　已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R).若函数f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围.解　f′(x)＝2x－＝.要

6、使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，且在[2，＋∞)上任何子区间上不恒为零，即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立.∵x2>0，∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立.∴a≤(2x3)min.∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，∴(2x3)min＝16，∴a≤16.当a≤16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是a≤16.点评　已知函数单调性求参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题.一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(递减)等价于不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上

7、恒成立，且在I的任何子区间上不恒为零，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围，并验证f′(x)＝0是否有有限个解.142.利用函数的单调性证明不等式欲证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)≥g(x))成立，可以构造函数φ(x)＝f(x)－g(x)，利用导数进行证明.例3　已知x>0，求证：ex>1＋x.证明　设函数f(x)＝ex－(1＋x)，则f′(x)＝ex－1.当x>0时，ex>e0＝1，所以f′(