2017_18学年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式同步配套教学案

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1、二用数学归纳法证明不等式　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P421．利用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．2．归纳—猜想—证明的思想方法数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法中．一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证

2、明其正确性，形成“观察—归纳—猜想—证明”的思想方法．　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P42利用数学归纳法证明不等式[例1]　证明：2n＋2>n2，n∈N＋.[思路点拨]　―→―→[证明]　(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边；当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左边>右边．因此当n＝1,2,3时，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立．当n＝k＋1时，2k＋1＋29＝2·2k＋2＝2(

3、2k＋2)－2>2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，则k－3≥0，k＋1>0)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.所以2k＋1＋2>(k＋1)2.故当n＝k＋1时，原不等式也成立．根据(1)(2)，原不等式对于任何n∈N都成立．数学归纳法证明不等式的技巧(1)证明不等式时，由n＝k到n＝k＋1时的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n＝k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题

4、简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一．(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程．1．用数学归纳法证明：＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)．证明：(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立．即＋＋…＋>.当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋>＋>＋＝.∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立．2．用数学归纳法证明：91＋＋＋…＋<2

5、－(n≥2，n∈N＋)．证明：(1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即1＋＋＋…＋<2－，当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，不等式成立．由(1)(2)知原不等式在n≥2，n∈N＋时均成立．3．设Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明．解：(1)当n＝1,2时，Pn＝Qn.(2)当n≥3时，(以下再对x进行分类)．①若x∈(0，＋∞)，显然有Pn>Qn.②若x

6、＝0，则Pn＝Qn.③若x∈(－1,0)，则P3－Q3＝x3<0，所以P30(n∈N＋)，对任意自然数n1和n2总有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)，又f(2

7、)＝4.(1)求f(1)，f(3)的值．(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想．[思路点拨]　利用f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)可求出f(1)，f(3)再猜想f(n)，利用数学归纳法给出证明．[解]　(1)由于对任意自然数n1和n2，总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)．取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)·f(1)，即f2(1)＝4.∵f(n)>0(n∈N＋)，∴f(1)＝2.取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23.(2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23，猜想f(n)＝

8、2n.证明：①当n＝1时f(1)＝2成立；②假设n＝k时，f(k)＝2k成立．f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，这就是说当n＝k＋1时，猜想也成立．由①②知猜想正确，即f(n)＝2n.利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察——归纳——猜想——证明．即先通过观察部分项的特点．进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明．4．在数列{an