资源描述：
《2017_2018学年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式同步配.》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、二用数学归纳法证明不等式1.利用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一.在运用数学归纳法证明不等式吋，由n=k成立，推导n=k+1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行.2.归纳一猜想一证明的思想方法数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳一猜想一证明”这一基本思想方法屮.一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性,形成“观察一归纳一猜想一证明”的思想方法.对应学生用书P42利用数学归纳
2、法证明不等式［例1］证明：2"+2>/A/7WN+.［思路点拨］验证刀=1,2,3时，不等式成立假设刀=&成立,推证n=k+刀=&+1成立，结论得证［证明］(1)当门=1时，左边=2‘+2=4；右边=1,左边〉右边；当n=2时，左=2'+2=6,右=22=4,所以左边〉右边；当/7=3时，左=2‘+2=10,右=32=9,所以左边〉右边.因此当77=1,2,3时，不等式成立.⑵假设当门=且圧N+)时，不等式成立.当n=k+时,2小+2=2・2a+2=2(2*+2)—2>2护一2=£+2A■+1+F—2k—3=(护+2&+1)+(&+1)(A—3)(
3、因&M3,则k—320,&+1>0)鼻护+2&+1=(&+1)2.所以2旳+2>(&+1)2.故当n=k+l时，原不等式也成立.根据仃)(2),原不等式对于任何刀GN都成立.［方法・规律•小结］〜数学归纳法证明不等式的技巧⑴证明不等式时，由n=k到〃=«+1时的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到心&时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑
4、法、分析法和综合法等，才能完成证明过程.題伍集制么〃11151.用数学归纳法证明：匚匚y+乔万—>-(/?^2,/?wn+).证明：⑴当刀=2时，左边=不等式成立.(2)假设当n=k(k22,圧N+)时，不等式成立.即占+出+…+寺吝当”以+1时’―1—+—!—+・・・+丄+_!_+丄+—!—>@+k+l+1斤+1+23k3W+13£+23k+16丄+丄+丄一丄)〉@+(3X丄—丄、3£+1十3£+2丁3£+3£+1丿‘6十I3£+3£+1丿一6°・••当n=k+l吋，不等式也成立.由(1)(2)知,原不等式对一切心2,"WN+均成立.2.用数学归纳法
5、证明：1+吕+吕£〈2—丄(刀$2,刀WN卜).23nni513证明：⑴当n=2时，1+歹=才2—空=刁，不等式成立.⑵假设当n=k(k22,&WN+)时不等式成立，即1+*+*^<2—^,当n=k+时，1+*+*+••b7+k+12<2~~k+k+12<2~~k+kk+k+l~k+l=2~k+V不等式成立.由⑴⑵知原不等式在“22,/?WN+时均成立.1.设E=(l+0",+nx+nn~[〃WN+,^e(-l,+oo),试比较代与G的大小，并加以证明.解：⑴当刀=1,2时，Pn=Qn.(2)当门23时，(以下再对;r进行分类).①若(0,+oo
6、),显然有£>Q”②若x=0,则Pn=Qm③若%£(-1,0),则A-fl=7<0,所以A0(/7^N+),对任意自然数m和灿总有7'3+灿)=f(m)/'(灿)，又f(2)=4.⑴求Al),f(3)的值.(2)猜想fS)的表达式，并证明你的猜想.［思路点
7、拨］利用/U+Q=f3)fS)可求出f(i),f(3)再猜想fS,利用数学归纳法给出证明.［解］(1)由于对任意自然数口和处，总有+/?2)=f(jh)•f(zfe)・取巾=炖=1,得f(2)=Al)•Al),即#(1)=4.・・・f(/7)>0(/?WN+),・•・Al)=2.取刀i=l,炖=2,得/(3)=23.(2)由/(1)=2/(2)=4=22,/(3)=23,猜想f3=2n.证明：①当〃=1时f(l)=2成立；②假设刀=斤时，fU)=2A成立./U+l)=f(Q・A1)=2A•2=2a+1,这就是说当n=A+l时，猜想也成立.由①②知猜想
8、正确，即广(/?)=2".［方法・规律•小结］二利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察一
